Uma visada sobre as condições sócio-históricas de emergência e demonstração do teorema da incompletude de Gödel em 1931

• Rosemeire de Fatima Batistela ^[1]
  1. [1] Universidade Estadual de Feira de Santana

     Universidade Estadual de Feira de Santana

     Brasil

     
• Localización: Paradigma, ISSN 1011-2251, Nº. Extra 2, 2022 (Ejemplar dedicado a: Pesquisa Qualitativa em Educação Matemática), págs. 454-470
• Idioma: portugués
• Títulos paralelos:
  • Una mirada a las condiciones sociohistóricas del surgimiento y demostración del teorema de incompletitud de Gödel en 1931
  • A look at the socio-historical conditions of emergence and proof of Gödel's incompleteness theorem in 1931
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• Resumen
  • español

    Este artículo expone las principales cuestiones que, a nuestro entender, movieron los esfuerzos de los matemáticos en el momento de la demostración del teorema de incompletitud de Gödel, buscando mostrar que las herramientas matemáticas disponibles hasta ese momento fueron fundamentales para la elaboración de la demostración de Gödel. Así, este texto aborda este resultado junto con otros teoremas de imposibilidad de las Matemáticas y destaca que la metamatemática era conocida por Gödel y que esto no estaba claro para los autores delas pruebas de imposibilidad de los problemas clásicos de la Antigüedad. Además, exponemos que las pruebas finitas y los sistemas formales completos requeridos en el programa de Hilbert no pueden existir. Se trata de un estudio teórico de carácter bibliográfico realizado desde la perspectiva de un enfoque cualitativo. En la dimensión personal, la demostración de incompletitud se construyó como consecuencia del deseo/necesidad de obtener el título de Privatdozent en la Universidad de Viena y el esfuerzo inicial por demostrar la consistencia del análisis que se transmutó en otros problemas. Finalmente, presentamos que este teorema fue demostrado en 1931 principalmente porque Gödel conocía la existencia de pruebas de imposibilidad, distinguía las matemáticas de las metamatemáticas y buscaba atacar un problema de consistencia de la aritmética que estaba relacionado con la aritmética de los campos de las Matemáticas.

  • português

    Este artigo expõe as principais questões que em nosso entendimento movimentavam o empenho dos matemáticos à época da demonstração do teorema da incompletude de Gödel buscando apresentar que o ferramental matemático disponível até aquele momento fora fundamental para a elaboração da demonstração por Gödel. Assim este texto aborda este resultado juntamente com outros teoremas de impossibilidade da Matemática e destaca que a metamatemática2era conhecida por Gödel e que isso não era claro para os autores das provas de impossibilidade dos problemas clássicos da Antiguidade. Além disso, expomos que as provas finitistas e os sistemas formais completos solicitados no programa de Hilbert não podem existir. Trata-se de um estudo teórico de natureza bibliográfica realizado na perspectiva da abordagem qualitativa. Na dimensão pessoal, a demonstração da incompletude foi construída como consequência do desejo/necessidade de obtenção do título de Privatdozentna Universidade de Viena e do empenho inicial de demonstrar a consistência da análise que foi se transmutando em outros problemas. Por fim apresentamos que este teorema foi demonstrado em 1931 principalmente porque Gödel conhecia a existência de demonstrações de impossibilidade, distinguia matemática de metamatemáticae buscava atacar um problema da consistência da aritmética que se relacionava à aritmetização dos campos da Matemática.

  • English

    This paper exposes the main issues that, in our understanding, moved the efforts of mathematicians at the time of the proof of Gödel's incompleteness theorem, seeking to show that the mathematical tools available until that moment were fundamental for the elaboration of the proof by Gödel. Thus, this text approaches this result together with other impossibility theorems of Mathematics and highlights that metamathematics was known by Gödel and that this was not clear to the authors of the impossibility proofs of the classical problems of Antiquity. Furthermore, we expose that finite proofs and complete formal systems required in Hilbert's program cannot exist. This is a theoretical study of a bibliographic nature carried out from the perspective of a qualitative approach. In the personal dimension, the demonstration of incompleteness was built as a consequence of the desire/need to obtain the title of Privatdozent at the University of Vienna and the initial effort to demonstrate the consistency of the analysis that was transmuted into other problems. Finally, we present that this theorem was demonstrated in 1931 mainly because Gödel knew the existence of proofs of impossibility, distinguished mathematics from metamathematics and sought to attack a problem of the consistency of arithmetic that was related to the arithmeticization of the fields of Mathematics.