Resumen de El moviment brownià i els mercats financers: memòria llegida per l'acadèmic electe Dr. David Nualart i Rodón en l'acte de la seva recepció el dia 29 de maig de 2003
- español
Los procesos estocásticos proporcionan modelos matemáticos para muchos fenómenos de la ciencia. Estos tipos de modelos incorporan una componente aleatoria que describe la incertidumbre o los errores de medida. Uno de los procesos estocásticos más utilizados es el movimiento browniano que se puede considerar como el límite de la suma de pequeñas perturbaciones independientes. Las trayectorias del movimiento browniano, aunque son continuas, son muy irregulares y su análisis requiere el cálculo estocástico.
El cálculo estocástico asociado al movimiento browniano introducido por K. Ito en los años 40, ha adquirido gran popularidad gracias a su utilización en la descripción de la dinámica de los precios en los mercados financieros. De esta manera el cálculo estocástico es una herramienta fundamental para tratar problemas como la valoración y cobertura de derivados y la optimización de la inversión. En esta memoria explicaremos qué papel juega el cálculo estocástico en el análisis de los mercados financieros y trataremos algunos problemas actuales en este campo.
El movimiento browniano fraccionario es una generalización del movimiento browniano que se ha utilizado en la modelización de datos con memoria larga y con propiedad de autosimilitud. Avances importantes en el cálculo estocástico respecto al movimiento browniano fraccionario han sido realizados recientemente. Acabaremos este discurso comentando algunos de los resultados obtenidos en este tema
- català
Els processos estocàstics proporcionen models matemàtics per a molts fenòmens de la ciència. Aquests tipus de models incorporen una component aleatòria que descriu la incertesa o els errors de mesura. Un dels processos estocàstics més utilitzats és el moviment brownià que es pot considerar com el límit de la suma de petites pertorbacions independents. Les trajectòries del moviment brownià, encara que són contínues, són molt irregulars i la seva anàlisi requereix el càlcul estocàstic.
El càlcul estocàstic associat al moviment brownià introduït per K. Itó als anys 40, ha adquirit gran popularitat gràcies a la seva utilització en la descripció de la dinàmica dels preus en els mercats financers. D'aquesta manera el càlcul estocàstic és una eina fonamental per tractar problemes com la valoració i cobertura de derivats i l'optimització de la inversió. En aquesta memòria explicarem quin paper juga el càlcul estocàstic en l'anàlisi dels mercats financers i tractarem alguns problemes d'actualitat en aquest camp.
El moviment brownià fraccionari és una generalització del moviment brownià que s'ha utilitzat en la modelització de dades amb memòria llarga i amb propietat d'autosimilitud. Avenços importants en el càlcul estocàstic respecte del moviment brownià fraccionari han estat fets recentment. Acabarem aquest discurs tot i comentant alguns dels resultats obtinguts en aquest tema
- English
Stochastic processes provide mathematical models for many scientific phenomena. These type of models include a random component which describes the uncertainty or measurement errors. One of the most used processes is Brownian motion that can be considered as the limit of the sums of small independent perturbations. The trajectories of the Brownian motion although continuous, they are very irregular and their analysis needs stochastic calculus.
Stochastic calculus associated for the Brownian motion introduced by K. Itó in the 40's, has become very popular due to its use in the description of the price dynamics in financial markets. In this way stochastic calculus is a basic tool to deal with problems like pricing and hedging derivatives and optimization of the inversion. Our goal is to explain the role played by stochastic calculus in the analysis markets and discuss some recent problems in this field.
Fractional Brownian motion is a generalization of Brownian motion that has been used as a model for data with long memory. Important recent progress in the stochastic calculus with respect to the fractional Brownian motion has been made. We will present some of these advances.
