Resumen de Propagation in reaction-diffusion equations with fractional diffusion
Anne-Charline Coulon
Esta tesis se centra en el comportamiento en tiempos grandes de las soluciones de la ecuación de Fisher- KPP de reacción-difusión con difusión fraccionaria. Este tipo de ecuación surge, por ejemplo, en la propagación espacial o en la propagación de especies biológicas (ratas, insectos,...). En la dinámica de poblaciones, la cantidad que se estudia representa la densidad de la población. Es conocido que, bajo algunas hipótesis específicas, la solución tiende a un estado estable del problema de evolución, cuando el tiempo tiende a infinito. En otras palabras, la población invade el medio, lo que corresponde a la supervivencia de la especie, y nosotros queremos entender con qué velocidad se lleva a cabo esta invasión. Para responder a esta pregunta, hemos creado un nuevo método para estudiar la velocidad de propagación cuando se consideran difusiones fraccionarias, además hemos aplicado este método en tres problemas diferentes. La Parte I de la tesis está dedicada al análisis de la ubicación asintótica de los conjuntos de nivel de la solución de dos problemas diferentes: modelos de Fisher- KPP en medios periódicos y sistemas cooperativos, ambos consideran difusión fraccionaria. En el primer modelo, se prueba que, bajo ciertas hipótesis sobre el medio periódico, la solución se propaga exponencialmente rápido en el tiempo, además encontramos el exponente exacto que aparece en esta velocidad de propagación exponencial. También llevamos a cabo simulaciones numéricas para investigar la dependencia de la velocidad de propagación con la condición inicial. En el segundo modelo, se prueba que la velocidad de propagación es nuevamente exponencial en el tiempo, con un exponente que depende del índice más pequeño de los Laplacianos fraccionarios y también del término de reacción. La Parte II de la tesis ocurre en un entorno de dos dimensiones, donde se reproduce un tipo ecuación de Fisher- KPP con difusión estándar, excepto en una línea del plano, en el que la difusión fraccionada aparece. El plano será llamado "campo" y la línea "camino", como una referencia a las situaciones biológicas que tenemos en mente. De hecho, desde hace tiempo se sabe que la difusión rápida en los caminos puede causar un efecto en la propagación de epidemias. Probamos que la velocidad de propagación es exponencial en el tiempo en el camino, mientras que depende linealmente del tiempo en el campo. Contrariamente a los precisos exponentes obtenidos en la Parte I, para este modelo, no fuimos capaces de dar una localización exacta de los conjuntos de nivel en la carretera y en el campo. La forma de propagación de los conjuntos de nivel en el campo se investiga a través de simulaciones numéricas.
