Resumen de Geodésicas en variedades hiperbólicas
ESTA TESIS SUPONE UN ESTUDIO COMPLETO DEL COMPORTAMIENTO ASINTOTICO DE LAS GEODESICAS DE SUPERFICIES DE RIEMANN Y DE VARIEDADES HIPERBOLICAS. LA MOTIVACION QUE ORIGINA ESTE ESTUDIO ES DOBLE. POR UNA PARTE, LA TEORIA METRICA DE APROXIMACION DIOFANTICA: RESULTADOS CLASICOS DE KHINTCHINE, BESICOVITCH Y JARNIK SE TRADUCEN EN PROBLEMAS DE COMPORTAMIENTO ASINTOTICO DE GEODESICAS EN LA SUPERFICIE MODULAR. DE OTRA LA TEORIA GEOMETRICA DE FUNCIONES CON RESULTADOS MAS RECIENTES DE MAKAROV. ROHDE Y BOURGAIN. EL COMPORTAMIENTO RADIAL DEL CUBRIMIENTO UNIVERSAL DE UNA SUPERFICIE DE RIEMANN R ES, POR SUPUESTO, EL COMPORTAMIENTO ASINTOTICO DE LAS GEODESICAS DE R. ESTE CUBRIMIENTO, EN CIERTOS PROBLEMAS, EXHIBE UN COMPORTAMIENTO EXTREMAL RESPECTO DE LAS FUNCIONES CON VALORES EN R.
EN EL CAPITULO 2 SE DESARROLLA UN METODO GENERAL PARA ESTIMAR POR DEBAJO LA DIMENSION DE HAUSDORFF DE CONJUNTOS ASOCIADOS A PROBLEMAS DE APROXIMACION, SE TRATA DE LOS SISTEMAS BIEN DISTRIBUIDOS. EN LOS CAPITULOS 3, 4 Y 5 SE ESTUDIA LA DIMENSION DE HAUSDORFF DE LOS CONJUNTOS DE DIRECCIONES V EN LAS QUE LA GEODESICA QUE PARTE DE P CON DIRECCION V, YP,V. SE APROXIMA CON CIERTA VELOCIDAD: A UNA CUSPIDE, O A OTRO PUNTO FIJO Q, O A UNA GEODESICA PREFIJADA.
UNO DE LOS RESULTADOS MAS INTERESANTES DE LA TESIS APARECE EN EL CAPITULO 6. SE REFIERE A LAS GEODESICAS ACOTADAS Y SUPONE LA INTRODUCCION DE UN CONJUNTO LIMITE NUEVO PARA GRUPOS KLEINIANOS: EL CONJUNTO LIMITE ACOTADO. PARA SUPERFICIES DE RIEMANN SE OBTIENE LO SIGUIENTE:
TEOREMA. PARA TODA SUPERFICIE DE RIEMANN R = A/G.
DISTINTA DEL DISCO PUNTEADO, Y PARA TODO P E R, LA DIMENSION DE HAUSDORFF DEL CONJUNTO DE DIRECCIONES B(R.P)= (V: YP.V ESTA ACOTADA) ES IGUAL AL EXPONENTE DE CONVERGENCIA DE R. SI R ES EL DISCO PUNTEADO B(R.P) ES VACIO.
