Resumen de Ecuaciones en derivadas parciales originadas en procesos biológicos dirigidos
Esta memoria de doctorado tiene como objetivo proponer y analizar distintas ecuaciones cinéticas en derivadas parciales que describan el movimiento de poblaciones biológicas, y a partir de ellos obtener modelos macroscópicos mediante un límite de escala.
La tesis doctoral se divide en 6 capítulos: en el primero, introducimos los conceptos clave de escala, límite de escala, y los distintos fenómenos que rigen el movimiento celular que se trataran a continuación: quimiotaxis, haptotaxis, difusión clásica y difusión fraccionaria.
En los capítulos 2 y 3 los dedicamos al estudio de un modelo microscópico de movilidad celular que incorpora dos fenómenos clave: la haptotaxis, debida a la estructura de la matriz extracelular, y la quimiotaxis, provocada por la diferencia de concentración de un cierto compuesto químico libre en el medio [KS]. Obtenemos tres ecuaciones en derivadas parciales, una para la población celular y dos para los compuestos químicos responsables de ambos fenómenos. Probamos la existencia y unicidad del sistema y realizamos un límite de escala, el cual nos dará un modelo a escala macroscópica del mismo fenómeno. También hacemos uso de herramientas numéricas para comprobar la evolución del sistema y verificar que sigue el comportamiento esperado.
En el capítulo 4 presentamos toda una familia de modelos alternativos de movilidad celular, donde el movimiento aleatorio propio de las células viene dado por lo que se conoce como vuelos de Lévy, procesos aleatorios regidos por una función de colas pesadas, y que está relacionado con el operador laplaciano fraccionario [MMM]. Introducimos una descripción cinética general desde la cual, usando un límite de escala adecuado, podemos deducir distintos modelos de quimiotaxis clásicos, ahora con este laplaciano fraccionario.
Dedicamos el capítulo 5 a estudiar un modelo macroscópico de la dinámica presa-perseguidor entre dos poblaciones biológicas [GNRR], obteniendo la buena definición del problema y probando que, en dimensión espacial 2, las soluciones ganan regularidad. Esto lo demostramos usando un argumento de tipo De Giorgi y resultados clásicos de la teoría de ecuaciones parabólicas.
Por ultimo, en el capítulo 6 nos centramos en un modelo cinético de tipo presa-perseguidor. Estudiamos la existencia y unicidad de soluciones del sistema de ecuaciones en derivadas parciales y, mediante un límite de escala parabólico [PS], recuperamos el sistema macroscópico que estudiamos en el capítulo 5.
Bibliografía: [KS] J. Kelkel, and C. Surulescu, A multiscale approach to cell migration in tissue networks, Math. Mod. Meth. Appl. Sci. 22(3), 2013, 1150017 (25 p.).
[MMM] A. Mellet, S. Mischler, and C. Mouhot, Fractional diffusion limit for collisional kinetic equations, Arch. Rational Mech. Anal. 199, 2011, 493-525.
[GNRR] T. Goudon, B. Nkonga, M. Rascle, and M. Ribot, Self-organized populations interacting under pursuit-evasion dynamics, Physica D 304-305, 2015, 1-22.
[PS] F. Poupaud, and J. Soler, Parabolic limit and stability of the Vlasov-Poisson-Fokker-Planck system, Math. Mod. Meth. Appl. Sci. 10, 2000, 1027-1045.
