Resumen de Topics on the boundedness of Fourier multipliers over group algebras
El principio que afirma que algunos espacios singulares pueden ser entendidos mediante el estudio de las ´algebras no conmutativas que describen los observables sobre dicho espacio es una de las piedras angulares de lo que se ha venido en llamar geometr´ıa no conmutativa. Uno de dichos espacios singulares que admite una descripci´on natural en t´erminos de ´algebras no conmutativas es el dual de un grupo topol´ogico. Recordemos que si G es un grupo abeliano y localmente compacto podemos definir su dual Gˆ = Hom(G, T) como el grupo de todos los caracteres continuos χ : G → T = {z ∈ C : |z| = 1} con la multiplicaci´on puntual. En este contexto, el teorema de dualidad de Pontriaguin afirma que G∧∧ = G. Dicha relaci´on falla cuando G no es abeliano1 . Sin embargo, podemos definir tanto ´algebras generalizando L∞(Gˆ), en caso de querer estudiar la teor´ıa de la medida no conmutativa, como ´algebras generalizando C0(Gˆ) en caso de querer estudiar la topolog´ıa no conmutativa del dual de G. Denotaremos por LG la primera ´algebra, construida como una clausura del ´algebra de grupo C[G]. LG posee una aplicaci´on positiva y σ-aditiva τ : LG+ → [0, ∞], conocida como el peso de Plancherel, que juega el mismo papel que la integral contra la medida de Haar de Gˆ. Dado un peso en un ´algebra de von Neumann hay una teor´ıa bien desarrollada de integraci´on no conmutativa que permite definir los espacios Lp no conmutativos Lp(LG) como complecciones de los operadores x ∈ LG tales que2 τ (|x| p ) < ∞. El problema que vamos a considerar en esta tesis consiste en determinar cuando un multiplicador de Fourier Tm est´a acotado o completamente acotado en Lp(LG). Recordemos que el multiplicador de Fourier de un s´ımbolo m ∈ L∞(G) es el operador (posiblemente no acotado) dado por extensi´on de g 7→ m(g) g definido sobre C[G]. Al igual que en el caso abeliano, no es posible dar un criterio necesario y suficiente en t´erminos de m para determinar cuando Tm esta acotado en Lp(LG), excepto cuando p est´a el rango p ∈ {1, 2, ∞}. Todo lo que podemos aspirar a obtener son, o bien condiciones necesarias, o bien suficientes. El estudio de la acotaci´on completa de dichos operadores recibi´o un impulso pionero con los trabajos de Haagerup [Haa78] y Cowling-Haagerup [CH89] en relaci´on con la amenabilidad d´ebil de ciertos grupos. Tambien fue estudiado por Pisier [Pis95a] en relaci´on con ciertas series lacunares. Sin embargo, el caso de p general ha permanecido pr´acticamente sin explorar hasta d´ecadas m´as recientes. Entre la investigaci´on sobre el problema destacamos los trabajos de Harcharras [Har99] en conexi´on con los multiplicadores de Schur y los trabajos de Lafforgue-de la Salle [LdlS11] en conexi´on con las propiedades de aproximaci´on de ciertos ret´ıculos Γ ≤ SLr(F). Tambi´en cabe destacar el trabajo de Bo˙zejko y Fendler [BF06] que usa un enfoque basado en transformadas de polinomios ortogonales. Un avance reciente en la teor´ıa Lp se inaugura con [JMP14a]. Paralelamente al desarollo de esta tesis, Junge, Mei y Parcet han obtenido cotas adimensionales para las transformadas de Riesz generalizadas [JMP14c] y Parcet y Rogers han estudiado transformadas de Hilbert en ciertas extensiones de R n [PR16], asimismo Caspers, Parcet, Perrin y Ricard han obtenido teoremas de estabilidad algebraica paralelos a los debidos a de Leuuw [CPPR15]. No obstante, m´as alla de las contribuciones aqu´ı listadas, el campo contin´ua fundamentalmente inexplorado. Multiplicadores de Fouri
