Resumen de Renormalization of one-boson-exchange interactions in the two-nucleon system
Una de la mayores espectativas de la Física Nuclear desde la aparición de QCD como parte del modelo estándar de las partículas ha sido la determinación de la interacción nucleón-nucleón (NN) a partir de esta teoría fundamental de las interacciones fuertes. Sin embargo QCD es muy difícil de tratar computacionalmente en el rango de energías en las que la Física Nuclear opera. Es necesario por tanto usar aproximaciones a QCD que estén basadas en sus simetrías internas.
La simetría quiral como límite bien establecido de QCD a baja energía ha proporcionado grandes avances en este respecto y de hecho potenciales NN basados en teoría quiral de perturbaciones (ChPT), la teoría efectiva de QCD con simetría quiral, han focalizado una gran atención en los últimos años. Existe, no obstante, una gran controversia entorno a dichos potenciales, que tiene que ver con diversos aspectos como son el encontrar un contaje en potencias (power counting) apropiado que ayude a discernir cuales son las contribuciones más y menos importantes al potencial y la forma en la cual deben renormalizarse dichos potenciales.
En esta tesis se toma un punto de vista algo separado de esta línea de investigación, en el cual se buscan nuevas fuentes de información que ayuden a aclarar un poco más lo que está ocurriendo. Por ejemplo, las conocidas simetrías antiguas de la Física Nuclear de las cuales la simetría SU(4) de Wigner y la simetría de Serber son un ejemplo, han sido usualmente consideradas como simetrías accidentales sin conexión alguna con QCD, sin embargo se han mostrado de una enorme utilidad en la descripción de muchas propiedades de las fuerzas nucleares. Por otro lado, con la aparición de los potenciales quirales, los antiguos potenciales basados en intercambio mesónico (OBE) fueron relegados a modelos debido en gran parte a una serie de ingredientes que hacían ambigua su interpretación desde un puntos de vista fundamental. Entre estos ingredientes podemos citar tres muy importantes:
- Los factores de forma fuertes introducidos ad-hoc no deducidos directamente del lagrangiano del cual proviene el modelo de intercambio mesónico y los cuales simulando el tamaño finito del nucleón ayudan a matar la singularidad que posee el potencial a cortas distancias.
- La inclusión de uno, o incluso dos, mesones escalares (el mesón sigma) cuya existencia no es del todo evidente y cuyos parámetros (constante de acoplamiento al nucleón y masa) eran ajustados a cada onda parcial (S, L, J) y en cada canal NN.
- Constantes de acoplamiento de los mesones vectoriales (gwNN = 20) que son mucho más grandes de lo esperado gwNN = 9 según otras fuentes que se consideran naturales, como por ejemplo dominancia vectorial (VDM) o simetría SU(3). De hecho en estos modelos se rompe la simetría SU(3) en un 40%, la rotura más grande conocida hasta la fecha.
Tradicionamente estos potenciales de intercambio bosónico han sufrido de un molesto ajuste fino en sus parámetros, es decir, una extrema sensibilidad a la física de cortas distancias que no es natural. Sin embargo, la energías a las que ocurre la colisión elástica NN están caracterizadas por una longitud de onda de de Broglie entorno a 0.5 fm y por tanto la descripción de este sistema debería ser insensible a detalles que ocurran por debajo de esta escala, esto es, detalles de cortas distancias. Pero además, de este molesto problema hay otro no menos importante que tiene lugar cuando se quieren acoplar fotones al sistema. Éste consiste en el desconocimiento de cómo afecta a la invariancia gauge el hecho de tener un factor de forma fuerte en el vértice. En teoría uno tiene que inventarse un acoplamiento a una partícula ficticia cuya masa equivale al cut-off que se usa en el factor de forma, lo cual introduce ambiguedades muy serias en los resultados.
Los dos ingredientes fundamentales en los cuales esta tesis se basa son dos: la renormalización y el límite Nc grande de QCD propuesto por G. t'Hooft y E. Witten.
- El límite Nc grande de QCD Este límite permite establecer un link entre los modelos de potencial basados en el intercambio bosónico con QCD de una forma muy natural puesto que es un límite que no se aplica a un régimen particular de energía y por tanto las leyes de escalamiento deducidas diréctamente a partir de dinámica de quarks y gluones pueden aplicarse al ámbito hadrónico gracias a la dualidad quark-hadrón. El potencial NN en dicho límite es una entidad no-relativista bien definida que escala con Nc, con una fuerza central y tensor igualmente importantes. Las componentes no-locales, correcciones relativistas y las anchuras de los mesones pasan a ser correcciones 1/Nc y por tanto no necesitan ser considerados en un primer paso.
- La renormalización El potencial OBE deducido a partir de un Lagrangiano consistente con el límite Nc presenta también singularidades como en el caso del potencial quiral. Con la renormalización conseguimos dos cosas, eliminar tales singularidades y separar de forma muy eficiente la desconocida y problemática física de cortas distancias de la bien conocida y tratable física de largas distancias. Esto nos ayuda a eliminar ese ajuste fino no natural que tradicionalmente ocurría en los potenciales OBE y obtener resultados modelo independientes. La introducción de los factores de forma fuertes en los vértices mesón-nucleón pasa a ser innecesaria y además podemos tomar una elección muy natural de las constantes de acoplamiento consistentes con VDM o SU(3) por ejemplo.
La combinación de estos dos ingradientes ha llevado a los siguientes resultados:
1) La simetría de Wigner La interacción NN a baja energía está dominada por dos ondas S en diferentes canales donde el espín e isoespín (S,T) se intercambian, (1,0) - (0,1). La simetría SU(4) de Wigner implica que los potenciales en los canales 1S0 y 3S1 coinciden y que la fuerza tensor desaparece. Esto implica que los desfasajes en ambos canales deberían ser idénticos, lo cual no ocurre según se deduce de análisis en ondas parciales (PWA) de la interacción NN. En realidad resulta que son realmente muy diferentes a todas las energías no mostrando una evidencia clara de la identidad del potencial.
La fueza nuclear a cortas distancias es evidentemente desconocida y la validéz de la simetría a todas las distancias es como mínimo cuestionable. Como se ha dicho, esta falta de conocimiento de la física de cortas distancias no debe ser crucial a baja energía, donde los desfasajes son de hecho muy distintos. Por esta razón hemos propuesto mirar la simetría SU(4) de Wigner como una simetría de largas distancias la cual puede estar altamente rota a cortas distancias pero débilmente rota a largas distancias. Hemos visto que usando la renormalización donde la insensibilidad a las cortas distancias es manifiesta, la correlación de Wigner entre potenciales predice un desfasaje en función del otro de una forma no trivial y satisfactoria. Usando el potencial de intercambio de un bosón (OBE) con un comportamiento correcto en el límite Nc, hemos probado que si un canal es descrito satisfactoriamente, el otro canal es inevitablemente bien reproducido dentro de las incertidumbres compatibles con ignorar la fuerza tensor y las correcciones 1/Nc^2 al potencial. Los efectos de la rotura de simetría a cortas y largas distancias también han sido analizados y la extensión a ondas parciales superiores ha sido igualmente discutido, donde se han deducido unas relaciones para los desfasajes. Hemos mostrado que el patrón de ruptura de la simetría está de acuerdo con lo que la expansión Nc sugiere. La simetría se satisface donde la expansión 1/Nc espera que se satisfaga y se viola donde dicha expansión permite que se viole. Esta sorprendente verificación empírica de un patrón que proviene de QCD ha motivado gran parte de los cálculos que se presentan en la tesis.
2) La simetría de Serber La simetría de Serber surge de la antigua, y bien conocida en Física Nuclear, fuerza de Serber, la cual predice que las interacciones en ondas parciales con L impar deben anularse. Esta simetría es evidente en el sistema np como puede verse en la sección eficáz diferencial e implica un conjunto de reglas de suma para los desfasejes en ondas parciales que se verifican muy bien en todo el rango de colisiones elásticas.
Hemos formulado estas reglas de suma para los llamados potenciales de alta precisión (como por ejemplo los de Nijmegen, Argonne v18, etc) que describen los datos de colisión elástica NN con Chi2 /DOF = 1 y hemos visto que estas reglas de suma se satisfacen muy bien para distancias por encima de 1 fm. Esto sugiere que un coarse graining de la interacción NN, es decir, la interacción efectiva, también debe mostrar la simetría. Esta idea del coarse graining es implementada explícitamente a través del llamado Vlowk integrando todos los modos por debajo de un cierto cut-off Lambda=400 MeV. Al analizar los cálculos Vlowk existentes de los potenciales de alta precisión hemos visto que la simetría de Serber se satisface en un alto grado de precisión.
Por otro lado, un resultado sorprendente que hemos encontrado es que los potenciales quirales, aún implementando importantes aspectos de QCD, no satisfacen la simetría en el mismo grado de precisión que los potenciales de alta precisión. Esta violación de la simetría debe de hecho ser compensada por una violación equivalente en los contratérminos, los cuales codifican la interacción desconocida de cortas distancias no genuinamente quiral para describir los desfasajes NN donde la simetría ocurra.
El hecho de que cuando la simetría de Wigner se viola, la de Serber se satisface, nos ha hecho pensar que quizás esta simetría pudiese tener también una fundamentación dentro del esquema del límite Nc. Este patrón de violación o no de las simetrías se ha verificado también para los potenciales a largas distancias o usando los potenciales Vlowk. Esto ha llevado a considerar el papel que juegan, en el potencial NN, las resonancias pi-pi en el límite Nc grande. En la práctica, hemos mostrado que en el marco del OBE, la verificación de la simetría de Serber a nivel de potenciales está íntimamente relacionada con la identificación de las masas de los mesones sigma y rho cuando aparecen en potenciales de tipo Yukawa.
Estos mesones están asociados con resonancias pi-pi y pueden ser definidas como polos en la segunda hoja de Rieman de la amplitud de colisión para un valor de la masa invariante MR - i GammaR / 2. Sin embargo, asumiendo que la masa mR = O(1) y la anchura GammaR = O(1/Nc) según predice el límite Nc, hemos encontrado que, siempre que nos quedemos con términos en el potencial hasta NLO, la anchura de los mesones no contribuyen al potencial NN, puesto que éstos son O(1/Nc), es decir, una corrección relativa 1/Nc^2 al potencial a orden más bajo (LO).
Este hecho, justifica en cierto modo usar potenciales de tipo Yukawa cuyas masas se corresponden a una aproximación a la masa del polo mR = MR(0) + MR(1) la cual no puede distinguirse de la masa Breit-Wigner hasta O(1/Nc^2). Por tanto, las masas del mesón sigma y rho que aparecen en el potencial OBE podrían interpretarse como una aproximación a las masas del polo más que como un valor exacto de la masa.
La cuestión de qué valor numérico ha de tomarse para la masa Yukawa es compleja, y hasta la fecha no conocemos otra forma que extraerla directamente a partir de un ajuste a los datos de colisión NN, para el cual obtenemos m_sigma=501(25) MeV el cual podría ser aceptable cuando se descartan contribuciones de dos piones correlacionados.
Finalmente hay que señalar que la aproximación Vlowk revela simetrías importantes de la interacción efectiva NN relevantes para la Física Nuclear. Es decir, dado un grupo de simetría, con un elemento G, una simetría estandar significa que [V,G] =0 implica [Vlowk,G]=0. El inverso, sin embargo, no es cierto. Podemos definir una simetría de largas distancias como una simetría de la interacción efectiva, es decir, [ Vlowk,G] =0 pero [V ,G] es distinto de cero. Desde el punto de vista de renormalización, esto corresponde a una simetría del potencial que sólo está rota por los contratérminos. El hecho no trivial de que las simetrías de Wigner y Serber ocurran unívocamente para Vlowk y no mucho para el caso de los potenciales desnudos V refuerza la aproximación Vlowk como una interacción efectiva basada en las simetrías.
3) La renormalización del potencial OBE Estimulados por los resultados obtenidos, hemos afrontado la posibilidad de que el límite Nc pueda proporcionar un buen esquema de trabajo, no diréctamente relacionado con ChPT pero si en el espíritud de los potenciales ampliamente usados en Física Nuclear. Por ello hemos analizado el potencial OBE desde el punto de vista de la renormalización. Este potencial presenta divergencias de cortas distancias, las cuales hacen que la solución de la correspondiente ecuación de Schrödinger sea ambigua.
El tradicional remedio para este problema ha sido la inclusión de factores de forma fenomenológicos los cuales parametrizan las funciones de vértice y por tanto el tamaño finito del nucleón. Este procedimiento genera estados espúreos profundamente ligados para valores naturales de las constantes de acoplamiento.
El precio que hay que pagar para eliminar tales estados es un ajuste muy fino en los parámetros del potencial a todas las distancias, y en particular a cortas distancias.
La renormalización es una forma muy práctica de eliminar esta sensibilidad a las cortas distancias, imponiendo condiciones que están fijadas por datos de baja energía independientes del potencial, los cuales asumen desde un principio nuestra inhabilidad de acceder a la física de cortas distancias que vive por debajo de la longitud de onda de de Broglie más baja probada en colisiones NN elásticas. De este modo, las ondas centrales y el deuterón pueden describirse razonablemente bien para valores naturales de las constantes de acoplamiento mesón-nucleón. Sin embargo, en la forma tradicional de proceder, la cual consiste en integrar la ecuación de Schr\"odinger con una condición de contorno regular creyendose el potencial de interacción en todo el rango, ésto sólo puede conseguirse si se ajustan muy finamente los parámetros del potencial o incluso postulando el intercambio mesónico a distancias por debajo de 0.5 fm.
En nuestro caso, la inclusión de mesones de tan corto rango induce cambios muy moderados, debido a la esperada insensibilidad a las cortas distancias y a pesar de las singularidades. Esta insensibilidad es manifiesta incluso tras introducir los factores de forma.
El proceso de renormalización introduce sin embargo estados spúreos profundamente ligados, independientemente de si el potencial es singular o regular. Este fenómeno es característico de las teorías de campo efectivas (EFT). Se ha testeado que tales estados no afectan en nada los resultados obtenidos.
El potencial que hemos usado está basado en la estructura de espín-sabor de la interacción NN en el límite Nc. La ventaja de tomar esta forma es que el potencial se simplifica tremendamente obteniéndose un potencial unívocamente definido que es no-relativista, local e independiente de energía. Los efectos relativistas, de espín-órbita, las no-localidades, la anchura de los mesones así como la inclusión de otros mesones entran como correcciones relativas orden 1/Nc^2. Sin embargo, éste consiste en una torre infinita de estados intercambiados multimesónicos, cuyo truncamiento está fundamentado en que los estados con una masa muy alta son irrelevantes para energías NN por debajo de el límite inelástico de producción de piones.
Por tanto, se ha llevado a cabo la renormalización con condición de contorno del potencial OBE con buen escalamiento en Nc el cual contiene sólo los mesones pi, sigma, rho y omega despreciando efectos de masa mas alta.
El valor de los parámetros de la sigma se ha fijado mediante un ajuste al desfasaje np en el canal 1S0 obteniéndose m_sigma = 501 (25) MeV y g_sigmaNN=9(1). El valor de las constantes de acoplamiento que reproducen los canales 1S0 y 3S1-3D1 son muy razonables, g_omegaNN=9.5(5) y f_rhoNN=16.3(7); el rango es compatible con el 10% de error de las correcciones 1/Nc^2. Para valores aceptados de g_rhoNN = 2.9(1) esto da g_omegaNN / g_rhoNN=3.27(17) un valor entre la predicción SU(3), g_omegaNN / g_rhoNN|_SU(3)=3 y el que proviene de los decaimientos e^+ e^- --> rho y e^+ e^ - --> omega, g_omegaNN / g_rhoNN|_{e^+e^-}=3.5. También obtenemos f_rhoNN / g_rhoNN= kappa_rho = 5.6(3); un valor qua está de acuerdo con estudios del acoplamiento tensor.
Es importante notar que la repulsión generada por el mesón \omega no es tan fuerte ni tan importante como suele requerirse en los potenciales OBE convencionales donde normalmente se requiere una gran violación de SU(3).
4) Rotura de la simetría de carga en la interacción NN Una interesante extensión de las ideas desarrolladas anteriormente consiste en estudiar la rotura de la simetría de carga (CSB) además del papel que juega la interacción culombiana cuando se aplica el método de renormalización. De nuevo, para este estudio usamos el potencial OBE con intercambio demesones pi, sigma, omega y rho pero aquí implementamos CSB a través de la diferencia de masas entre los piones cargados y neutro y las masas de los nucleones. Debido a la correlación que aparece entre constantes de acoplamiento en el canal 1S0 cuando m_omega = m_rho, hemos definido la constante efectiva g_omegaNN^* para los mesones vectoriales. En particular y como se ha hecho previamente se ha escogido el canal 1S0 np para ajustar m_sigma, g_sigma y g_omegaNN^* usando los desfasajes del grupo de Nijmegen para hacer el ajuste. De nuevo, un problema de ajuste fino aparece cuando se usa la condición de contorno regular u(0) = 0, sin embargo se obtiene insensibilidad a las cortas distancias cuando se usa la renormalización, en particular el ajuste fino desaparece y los mesones vectoriales se vuelven irrelevantes.
Para relacionar los diferentes canales np, nn, pp and pp(c) hemos usado una conexión de cortas distancias. Esta conexión es por el momento una suposición basada en finitud pero hemos visto que se obtienen resultados razonables para los parámetros de baja energía y desfasajes. Nuestras predicciones son comparables a los valores empíricos dentro del error. Esto es, de hecho, un resultado importante ya que normalmente una gran cantidad de efectos tales como intercambio multimesónico han sido esenciales para explicar tales diferencias.
5) Corrientes de intercambio mesónicas Finalmente hemos analizado los efectos de las corrientes de intercambio mesónicas (MECs) para diversos procesos electromagnéticos usando nuestras funciones de onda renormalizadas calculadas con el potencial OBE que hemos venido usando. Hemos analizado cómo la invariancia gauge relaciona los potenciales de intercambio mesónico con las corrientes longitudinales a través de la ecuación de continuidad y cómo estas corrientes pueden ser calculadas consistentemente a partir del potencial NN. Esta relación intrínseca sugiere que uno debe esperar el mismo grado de exactitud tanto en el potencial como en las corrientes.
Como se ha discutido, tradicionalmente los potenciales OBE usan factores de forma fuertes que imitan el tamaño finito del nucleón el cual es entorno a 0.6 fm. En el caso de la invariancia gauge, la inclusión de un factor de forma introducido a mano, es decir, no calculado consistentemente dentro de la teoría mesónica, implica una serie de no-localidades en la interacción las cuales pueden hacerse invariante gauge por medio de operadores de conexión a dos puntos, pero generando a su vez una dependencia de camino que no ha sido resuelta hasta la fecha. Por otra parte, potenciales puramente fenomenológicos no basados completamente en intercambio mesónico son ineherentemente ambiguos o bien producen resultados que están en conflicto con invariancia gauge los cuales son difíciles de cuantificar.
Aquí, nosotros hemos propuesto llevar a cabo la renormalización conjunta para el potencial, las funciones de onda y las corrientes. Dentro de este esquema no esperamos ver las diferencias entre un nucleón puntual o uno finito. Por esta razón proponemos reemplazar los factores de forma por condiciones de renormalización en propiedades de baja energía. En las ondas parciales más bajas hemos mostrado que tras la renormalización el efecto de los factores de forma es marginal. Por tanto, esperamos un resultado similar para las MECs.
De hecho, hemos analizado la electro-desintegración del deuterón usando las fórmulas de Hockert y Riska para la sección eficaz diferencial. Hemos visto como la simple pi-MEC es suficiente para esplicar los datos experimentales hasta q^2 = 15 fm^{-2}. Sin embargo, la inclusión de mesones más pesados da una discrepancia con los datos, lo cual requiere más estudios.
También se han dado resultados para la captura radiativa de neutrones. El resultado más interesante es la dependencia de la sección eficáz total con el radio de corte, la cual sugiere que deben tomarse radios por debajo de 0.15 fm.
Finalmente se ha estudiado colisión electrón-deuterón y los factores de EM del deuterón GC, GQ y GM en la aproximación de impulso (IA) y las correcciones debidas a las MECs de GM. Obtenemos un buen acuerdo con los datos experimentales en la descripción de los factores de forma EM en la IA usando nuestras funciones de onda renormalizadas. Cuando se remueve el radio de corte se observa un desplazamiento en los resultados de GM cuando se incluyen la pi-MEC respecto de los datos experimentales, pero la inclusión de mesones más pesados mejora la descripción. Hay obviamente un rango rc = 0.05-0.8 fm para el cual el resultado de GM cuando sólo se incluye la pi-MEC está encima de los datos experimentales. No obstante un estudio mas detallado y consistente con el límite Nc debe ser hecho aún.
