Resumen de Descubrimientos K-Arco transitivos de digrafos
RECUBRIMIENTOS K-ARCO TRANSITIVOS DE DIGRAFOS Tesis doctoral presentada por Sònia Pérez i Mansilla Director de la Tesis: Oriol Serra i Albó Un digrafo o grafo dirigido se dice que es k-arco transitivo si tiene grupo de automorfismos que actúa transitivamente en el conjunto de k-arcos. Para un entero positivo k, un k-arco de un digrafo es una secuencia (x0,x1,,xk) de k+1 vértices del digrafo tal que para cada i=0,,k, (xi,xi+1) es un arco del digrafo. Los digrafos de esta clase tienen una alta simetría y por lo tanto pueden ser útiles como modelos de transmisión y de difusión de la información. Uno de los problemas de que nos ocupamos en esta Tesis es la modelización de topologías de redes de interconexión altamente simétricas mediante digrafos k-arco transitivos. Así, una primera parte de la tesis se dedica precisamente a la construcción de digrafos k-arco transitivos, que es una de las principales contribuciones de la tesis.
La forma en que se estructura esta memoria es la siguiente:
En los primeros Capítulos incluimos la notación y terminología básica de digrafos que utilizaremos a lo largo de la Tesis, así como un estado del arte de otras construcciones de digrafos k-arco transitivos conocidas hasta la fecha. Introducimos también las herramientas claves para nuestra construcción de digrafos k-arco transitivos como son las 1-factorizaciones y los recubrimientos de digrafos. En particular, definimos los recubrimientos de Cayley de digrafos arco-coloreados.
En el Capítulo 3 presentamos nuestra construcción de digrafos k-arco transitivos, que es también una técnica de construcción de recubrimientos k-arco transitivos de digrafos conexos regulares arbitrarios para cada entero positivo k. Como técnica de contrucción de recubrimientos k-arco transitivos, generaliza los resultados de Babai de 1985 para los casos k=0,1. La idea de la construcción consiste en escoger recubrimientos vértice transitivos "apropiados" del digrafo línea k-línea iterado del digrafo de partida, de manera que estos recubrimientos sean también digrafos k-línea iterados. Además, los digrafos k-arco transitivos de los que son k-línea iterados resultan ser además recubrimientos del digrafo de partida. Los recubrimientos "apropiados" de los digrafos k-línea iterados son recubrimientos de Cayley de los digrafos con 1-factorizaciones k-uniformes. Previamente, definimos las 1-factorizaciones k-uniformes de digrafos k-línea iterados y probamos que todo digrafo k-línea iterado admite 1-factorizaciones de este tipo.
En el Capítulo 4 introducimos el concepto de cuadrado latino uniforme y damos una caracterización de las 1-factorizaciones 1-uniformes de digrafos línea en términos de cuadrados latinos uniformes. En particular, obtenemos el número de 1-factorizaciones 1-uniformes de un digrafo línea en función del número de cuadrados latinos uniformes de manera constructiva. Se demuestra también que los cuadrados latinos uniformes son isomorfos al cuadrado latino de la tabla de composición de un grupo del mismo orden. Como consecuencia, calculamos explicítamente los cuadrados latinos uniformes de orden pequeño y obtenemos las 1-factorizaciones 1-uniformes de digrafos línea de grado pequeño de algunas familias de digrafos. La última parte del capítulo la dedicamos a la representación de grupos de permutaciones que actúan regularmente en el conjunto de arcos de un digrafo.
En el Capítulo 5 estudiamos el grupo de automorfismos de los recubrimientos k-arco transitivos que obtenemos con nuestra técnica. Se dan resultados interesantes en términos de la normalidad para los recubrimientos de Cayley de grado dos. Por último en este capítulo, estudiamos la estructura del grupo de automorfismos de los digrafos k-arco transitivos que son homeomorfos a un ciclo y en particular, vemos que un digrafo de Cayley es homeomorfo a un ciclo si y sólo si existe un subgrupo normal del grupo base tal que los generadores están contenidos en una de las clases laterales del subgrupo.A digraph or directed graph is said k-arc transitive if it has automorphism group that acts transitively on the set of k-arcs. For a positive integer k, a k-arc of a digraph is a sequence (x0,x1,,xk) of k+1 vertices of the digraph such that for each i=0,,k, (xi,xi+1) is an arc of the digraph. Digraphs in this class have high symmetry and so they can be useful as models of transmission and diffusion of the information. One of the problems we work on this Thesis is the modelation of topologies of highly symmetric interconnection networks using k-arc transitive digraphs. Thus, the first part of the Thesis is devoted to the construction of k-arc transitive digraphs, which is one of the main contributions of this Thesis.
The memory of the Thesis is structured as follows.
In the firstly chapters we introduced the notation and basic terminology about graphs that we are going to use throughout the Thesis. Moreover, we include a short background about another constructions of k-arc transitive digraphs known up to now. We also include the main ingredients for our construction of k-arc transitive digraphs as the 1-factorizations and covers of digraphs. In particular, we define the Cayley covers of arc-colored digraphs.
In Chapter 3 we present our construction of k-arc transitive digraphs, which is also a technique to construct k-arc transitive covers of connected regular arbitrary digraphs for every positive integer k. As a construction tecnique of k-arc transitive digraphs, it generalizes results of Babai of 1995 for the cases k=0,1. The idea of the construction consists of choosing 'appropiate' vertex transitive covers of the k-line iterated digraph of the starting digraph in such a way that this covers are also k-line iterated digraphs. Furthermore, the k-arc transitive digraphs of which they are k-line iterated digraphs turn out to be covers of the starting digraph. The 'appropiate' covers of k-line iterated digraphs are Cayley covers of digraphs with k-uniform 1-factorization. Previously, we define a k-uniform 1-factorization of a k-line iterated digraph and we prove that every regular digraph admits 1-factorizations of this kind.
In Chapter 4 we introduce the concept of uniform latin square and we give a characterization of the 1-uniform 1-factorizations of line digraphs in terms of uniform latin squares. In particular, we obtain the number of 1-uniform 1-factorizations of a line digraph as a function of the number of uniform latin squares in a constructive way. We also prove that uniform latin squares are isomorphic to a latin square of the composition table of a group of the same size (in fact, the group is the complete set of discordant permutations obtained by the columns of the latin square). As a consequence, we calculate explicitly the uniform latin squares of small order and we obtain the 1-uniform 1-factorization of line digraphs of small degree of some families of digraphs. The last part of this chapter is devoted to the representation of permutation groups that acts regularly on the set of arcs of a digraph.
In Chapter 5 we study the automorphism group of the k-arc transitive covers we obtain with our technique. We give some results in terms of the normality for the Cayley covers of degree two. Finally in this chapter, we study the structure of the automorphism group of the k-arc transitive digraphs homomorphic to a directed cycle. In particular, we see that a Cayley digraph is homomorphic to a cycle if and only if there exists a normal subgroup of the base group such that the generators are contained in one of the cosets of the subgroup.
