Resumen de Algunas contribuciones a problemas de optimización en programación matemática
La tesis está estructurada en dos partes en las que se estudian problemas de optimización de distintas características.
En la primera de ellas se busca establecer condiciones suficientes para dualidad fuerte, es decir, condiciones bajo las cuales los valores óptimos del problema primal y dual son iguales siendo el dual resoluble, entre un problema primal general en el que la función objetivo se define sobre un espacio localmente convexo general, y los problemas duales de Fenchel, Lagrange y Fenchel-Lagrange obtenidos por medio del enfoque perturbacional y un nuevo esquema de conjugación llamado c-conjugación.
En esta primera parte, analizamos la estructura de las condiciones de regularidad del contexto clásico de trabajo en el que la semicontinuidad y convexidad de las funciones y el cerramiento de los conjuntos juegan un papel fundamental, y comprobamos cómo al utilizar el esquema de c-conjugación, las propiedades anteriores sobre las funciones y los conjuntos, se ven sustituidas por la evenly convexidad de las funciones y la evenly prime convexidad de los conjuntos equivalentes.
Para los tres tipos de problemas duales indicados, obtenemos condiciones de regularidad expresadas mediante epigrafos de funciones conjugadas y proyecciones de conjuntos sobre sus respectivos espacios de pertubación de variables. También trabajamos con una condición expresada vía una generalización del interior clásico de un conjunto, y estudiamos las relaciones existentes entre ellas..
Además, introducimos caracterizaciones para dualidad fuerte tanto en el caso de Fenchel como en el de Lagrange y Fenchel-Lagrange. Estas condiciones permiten caracterizar, a su vez, la dualidad fuerte incluso cuando la función objetivo del problema primal se perturba mediante un funcional lineal continuo, situación conocida como dualidad fuerte estable.
Respecto a la segunda parte de la tesis, Capítulo 5, estudiamos la versión cónica del clásico problema de cubrimiento de un conjunto mediante un elipsoide de mínimo volumen. Dado un conjunto de puntos en el espacio, intentamos encontrar el cono elipsoidal de menor volumen que contiene al conjunto de puntos. Formulamos dicho problema de dos formas distintas, siendo ninguna de ellas una formulación convexa. Para su resolución, utilizamos un solver disponible en Matlab y comparamos, mediante diversos experimentos numéricos, la bondad de dicha solución con la proporcionada por el menor cono de revolución que contiene al conjunto de datos, y por el cono generado por el elipsoide de mínimo volumen que contiene al conjunto inicial.
