Resumen de Modelo semianalítico para cálculos de dosimetría en radioterapia
Modelo semianalítico para cálculos de dosimetría en radioterapia Manuel Sabariego Quintanilla Departamento de Física Atómica, Molecular y Nuclear Universidad de Granada Noviembre de 2015 Introducción La importancia y el gran impacto social que representa la lucha contra el cáncer, así como el peso que la terapia con radiaciones ionizantes tiene en dicho contexto, hacen que los métodos para calcular distribuciones espaciales de dosis absorbidas en diferentes medios cobren especial relevancia y hayan sido objeto de una amplia investigación durante las últimas décadas. Entre las terapias más frecuentes en uso clínico podemos situar a aquellas que utilizan fotones como agente ionizante, siendo la forma en que se ha encauzado su dosimetría objeto de diversos enfoques y métodos a lo largo de los años, los cuales podríamos englobar dentro tres puntos de vista diferentes: el enfoque determinista, la visión estocástica y el empleo de modelos físicos. Dentro de estos últimos podemos incluir el que se presenta en esta tesis.
La búsqueda de métodos de cálculo que consuman poco tiempo de uso de CPU y que ofrezcan buena precisión, ha sido el propósito que ha guiado la investigación en dosimetría de fotones durante largo tiempo. En este sentido, disponer de fórmulas analíticas supone un enorme ahorro de tiempo de computación y dependiendo de lo realistas que sean, así será la precisión que proporcionen. En este contexto, el objetivo principal de esta tesis es el ofrecer expresiones semianalíticas simples, deducidas de un modelo estadístico sencillo que puedan ser utilizadas en la dosimetría de fotones en radioterapia y en general, en otras aplicaciones relacionadas con el transporte de fotones en medios materiales.
La presente tesis se articula globalmente de la siguiente manera: el primer capítulo se dedica al establecimiento y desarrollo teórico del modelo; el capítulo segundo se dedica a la obtención empírica de los parámetros presentes en las ecuaciones principales y a la comprobación de la bondad de sus predicciones mediante la comparación con simulaciones realizadas con PENELOPE [1, 2]; los capítulos tercero, cuarto y quinto se dedican a la aplicación del modelo a casos concretos en diferentes campos de la física médica.
Desarrollo teórico Nuestro punto de partida va a ser una fuente puntual de fotones monoenergéticos sumergida en un medio homogéneo e infinito. Obtener expresiones para la energía depositada a una distancia r por unidad de longitud y por partícula inicial (e(r)) es el objetivo principal en el desarrollo de este modelo semianalítico. Suponemos que la fuente emite N fotones iniciales que irán interaccionando con el medio, sufriendo sucesivas dispersiones hasta su absorción y que vamos a clasificar en generaciones que etiquetaremos como k.
Dividimos el medio en capas esféricas centradas en la fuente de espesor muy pequeño para asegurar que solamente se realizará una interacción. Los electrones producidos depositan, hasta su total absorción en el medio, una cantidad constante de energía por unidad de longitud . Sea pk la probabilidad de que un fotón de la k-ésima generación emita un electrón cuando viaja una distancia ∆ en el medio.
Paralelamente definimos qk como la probabilidad media de que un fotón de generación k produzca un fotón de generación k + 1 al atravesar una capa. Con estas definiciones vamos a contar cuántos fotones de la generación k atraviesan una capa genérica m y cuántos electrones depositan energía en esa capa, que posteriormente multiplicados por la energía que deposita cada electrón y pasando al continuo a través del límite cuando ∆ → 0 se obtienen las expresiones buscadas para la energía depositada por unidad de longitud y por partícula inicial a una distancia r de la fuente puntual (e(r)) Los parámetros que aparecen en estas ecuaciones se han ajustado a histogramas calculados mediante simulación Monte Carlo con el código PENELOPE. El medio material utilizado mayoritariamente es agua, con el que se han realizado ajustes para energías entre 10 keV y 20 MeV, si bien en el apéndice A se ofrecen los resultados para otros medios a las energías de los isótopos habitualmente usados en braquiterapia.
Los resultados obtenidos para fuentes puntuales son aplicados a dos problemas en los que las fuentes son extensas, considerando éstas como conjuntos de fuentes puntuales e integrando las ecuaciones fundamentales del modelo a todo el volumen de las fuentes. En su aplicación a fuentes lineales (capítulo 3) permite calcular la tasa de dosis depositada a cualquier ángulo y distancia de la fuente, así como precisar los valores de las funciones del formalismo TG-43. También explica de una forma analítica el pico que aparece en la función de anisotropía 1D a distancias cercanas a la fuente. Otra aplicación a fuentes extensas (capítulo 4), lo constituye el cálculo de fracciones específicas de energía entre una esfera fuente y otra esfera blanco, donde se establece una relación entre dicha fracción de energía, la distancia entre sus centros y los radios de ambas esferas.
Otra ventaja del modelo, es su aplicación a situaciones de baja estadística, donde los fotones surgen de procesos secundarios y por ello su número es muy pequeño, por lo que obtener resultados con una varianza aceptable en cálculos Monte Carlo supone un largo tiempo de computación. En el caso de la BNCT (Boron Neutron Capture Therapy) tratado en el capítulo 5, el cálculo de la dosis de fotones en maniquís estandarizados por medio del modelo tarda menos de un segundo, mientras que el mismo cálculo mediante simulación Monte Carlo exige unos diez días en completar.
Conclusiones A lo largo de esta tesis se ha desarrollado un modelo estadístico para el transporte de fotones en medios homogéneos que, en base a considerar las aportaciones de las diferentes generaciones de fotones, nos ha proporcionado un conjunto de expresiones que dan cuenta de la distribución de fotones y electrones de cada generación producidos en cada capa, debido a la interacción de la radiación con el medio material. Construyendo posteriormente con ellas fórmulas sencillas, podemos reproducir la dosis depositada por una fuente puntual monoenergética y cuyos logros resumimos a continuación:
Se obtienen ecuaciones que cuantifican la energía por unidad de longitud depositada en el medio por cada generación, así como la depositada por los fotones primarios y la debida a todas las generaciones de dispersados en total.
En el caso de los primarios también proporciona una expresión para distancias muy cercanas a la fuente, donde tienen lugar los procesos de acumulación debidos a la situación de pre-equilibrio electrónico existente a dichas distancias, lo que posibilita calcular de forma precisa la dosis a distancias muy cercanas a la fuente.
La precisión alcanzada en la descripción de la dosis total producida por los fotones dispersados es excelente en todo el rango de energías estudiado. En la dosis depositada por los fotones primarios esta precisión también es excelente una vez superado el tramo de pre-equilibrio electrónico, sin embargo en el tramo donde r ≤ R0 se pierde exactitud a bajas energías, si bien se trata de en una región muy pequeña.
Permite un cálculo muy preciso de dosis depositada por fuentes extensas mediante la integración volumétrica de fuentes puntuales, como en los casos estudiados en esta tesis de fuentes lineales y esféricas.
En problemas en los que los fotones surgen de procesos secundarios con muy baja probabilidad, el uso del modelo ofrece un cálculo preciso y muy rápido en cuanto a tiempo de computación frente a la simulación Monte Carlo.
El uso de las ecuaciones que surgen del modelo permite hacer estudios analíticos, que justifiquen comportamientos no evidentes en la interacción de los fotones con medios materiales, como en el caso estudiado de la fuente lineal, en el que ha permitido explicar el pico de dosis que la función de anisotropía 1D (φan(r)) presenta a cortas distancias.
El modelo también posibilita encontrar relaciones entre diferentes parámetros involucrados en ciertos problemas dosimétricos, como en el caso expuesto en el capítulo 4 al estudiar la fracción específica de energía absorbida.
Las expresiones deducidas ofrecen una justificación en base a un modelo físico a otras ecuaciones propuestas con la misma finalidad, como las obtenidas para la dosis dispersada por Berger [3] mediante el método estadístico de los momentos [4], la de Carlsson-Ahnesjö [5] y la de Sabariego et al. [6], basadas en consideraciones cualitativas, así como la de Nizin [7] para el tramo de pre-equilibrio electrónico en la dosis primaria.
Referencias [1] Salvat F, Fernández-Varea J M, Acosta E, and Sempau J. PENELOPE, a code system for Monte Carlo simulation of electron and photon transport. NEA- OECD, Paris, 2001.
[2] Salvat F, Fernández-Varea J M, and Sempau J. PENELOPE-2011: A Code System for Monte-Carlo Simulation of Electron and Photon Transport. NEA- OECD, Paris, 2011.
[3] Berger M J. Energy deposition in water by photons from point isotropic sources.MIRD Pamphlet No. 2. J. Nucl. Med, Suppl.1:17–25, 1968.
[4] Spencer L V and Fano U. Penetration and diffusion of X-rays. Calculation of spatial distributions by polynomial expansion. J. Res. Natl. Bur. Stand, 46:446– 456, 1951.
[5] Carlsson A K and Ahnesjö A. Point Kernels and superposition methods for scatter dose calculations in brachytherapy. Phys. Med. Biol, 45:357–382, 2000.
[6] Sabariego M P, Porras I, and Lallena A M. Calculation of the scatter dose and the buildup factors for monoenergetic photon sources using the Monte Carlo code PENELOPE. Rev. Fis. Med, 8:349–355, 2007.
[7] Nizin P S. Phenomenological dose model for therapeutic photon beams: Basic concepts and definitions. Med. Phys, 26:1893–900, 1999.
[8] Loevinger R and Berman M. A schema for absorbed-dose calculations for biologically distributed radionuclides. MIRD Pamphlet No. 1. J. Nucl. Med, Suppl.1:9– 14, 1968.
[9] Berger M J and Seltzer S M. Monte Carlo Transport of Electrons and Photons.
Plenum Press, New York, 1988.
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