Familias paramétricas de procesos iterativos de alto orden de convergencia

• Autores: Natalia Romero Álvarez
• Directores de la Tesis: Miguel Angel Hernández Verón (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de La Rioja ( España ) en 2006
• Idioma: español
• Número de páginas: 278
• Tribunal Calificador de la Tesis: Francisco Marcellán Español (presid.), José Antonio Ezquerro Fernández (secret.), Vicente Francisco Candela Pomares (voc.), Sergio Amat Plata (voc.), Jean-Claude Yakoubsohn (voc.)
• Materias:
  • Matemáticas
    • Análisis numérico
      • Métodos iterativos
• MSC2000 :
  • Ecuaciones en derivadas parciales
    • Teoría general
  • Ecuaciones integrales
    • Ecuaciones integrales no lineales
      • Sistemas de ecuaciones integrales no lineales
  • Análisis funcional
    • Aplicaciones variadas de análisis funcional
      • Aplicaciones a ecuaciones diferenciales e integrales
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: Dialnet
• Resumen
  • español

    La resolución de ecuaciones no lineales mediante procesos iterativos es el objetivo de esta memoria. Planteamos el análisis de familias paramétricas de procesos iterativos tipo Newton en espacios de Banach, de manera que podemos abarcar un amplio campo de problemas, como por ejemplo, ecuaciones integrales, ecuaciones en derivadas parciales o problemas de valores en la frontera. Obtenemos en espacios de Banach una familia de procesos iterativos con orden de convergencia al menos tres, que incluye los procesos iterativos más conocidos con al menos convergencia cúbica, como el método de Chebyshev, el método de Super-Halley, el método de Halley o el método de Euler, así como otras familias de procesos iterativos. Suavizamos paulatinamente las hipótesis de convergencia habitualmente empleadas, obteniendo dominios de existencia y unicidad de solución, así como cotas a priori y a posteriori del error. Para realizar el estudio de la convergencia semilocal de la familia en espacios de Banach utilizamos dos técnicas distintas: el principio de la mayorante y la basada en la construcción de un sistema de relaciones de recurrencia. En el caso particular de ecuaciones cuadráticas en espacios de Banach, establecemos una familia de procesos iterativos con orden de convergencia prefijado. Es interesante notar que en este caso los parámetros que aparecen en la familia se definen a partir de los números de Catalan. Para esta familia establecemos convergencia semilocal en espacios de Banach; en el caso real convergencia global si el orden es par y convergencia general si el orden es impar; y en el plano complejo presentamos un estudio de la convergencia desde un punto de vista numérico y dinámico. Con el objetivo de generalizar el estudio realizado para ecuaciones cuadráticas, analizamos la convergencia de la familia cuando es aplicada en la resolución de un conjunto de ecuaciones más amplio. Obtenemos así una nueva familia de procesos iterativos con orden de convergencia prefijado para la que establecemos resultados de convergencia semilocal y global.

  • English

    The goal of this memory is the numerical solution of nonlinear equations by iterative processes. We study the analysis of parametric families of Newton-type iterative processes in Banach spaces, so that we can take them on a wide range of problems, as integral equations, partial differential equations or boundary value problems. We obtain in Banach spaces a family of iterative processes with order of convergence at least three that includes the most known iterative processes with at least cubic convergence: Chebyshev's method, the Super-Halley method, the Halley method or the Euler method, as well as other families of iterations. We gradually relax the hypotheses of semilocal convergence that are usually used and obtain the domains where solutions are located and unique, together with some a priori and a posteriori error estimates. To realize the study of the semilocal convergence of the family, we use two different techniques: the majorant principle and one based in the construction of a system of recurrence relations. In the particular case of quadratic equations in Banach spaces, we establish a family of iterative processes with prefixed order of convergence. It is interesting to notice that in this case the parameters that appear in the family are defined from Catalan's numbers. In the real case, the iterative methods of the family are globally convergent if the order of convergence is even, and generally convergent if the order of convergence is odd. In the complex plane, we present a study of the convergence from a numerical and dynamical point of view. With the objective of generalizing the study done for quadratic equations, we analyze the convergence of the family when it is applied in the solution of a wider group of equations. We obtain in this way a new family of iterative processes with also prefixed order of convergence and establish results of semilocal and global convergence for these iterations.