Juegos con cooperación restringida por grafos difusos
- Autores: Inés Magdalena Gallego Sánchez
- Directores de la Tesis: Julio R. Fernández García (dir. tes.), Andrés Jiménez Losada (dir. tes.)
- Lectura: En la Universidad de Sevilla ( España ) en 2016
- Idioma: inglés
- Número de páginas: 184
- Tribunal Calificador de la Tesis: Jesús Mario Bilbao Arrese (presid.), Amparo M. Mármol Conde (secret.), Gloria Fiestras Janeiro (voc.), René van den Brink (voc.), Joaquín Sánchez Soriano (voc.)
- Programa de doctorado: Programa de Doctorado en Matemáticas por la Universidad de Sevilla
- Materias:
- Enlaces
- Tesis en acceso abierto en: Idus
- Resumen
El estudio de la teoría de juegos comenzó con von Neumann y Morgenstern con la publicación del libro “Theory of Games and Economic Behavior” en 1944. La teoría de juegos es un campo de la matemática que estudia situaciones de competición y cooperación entre varios agentes llamados jugadores. Este trabajo está centrado en los juegos cooperativos, que describen el resultado de la cooperación por parte de los jugadores por medio de grupos o coaliciones. Resolver un juego significa determinar qué coaliciones se forman y obtener un vector de pagos con el pago individual para cada jugador debido a sus posibilidades reales de cooperación. Usualmente ese vector de pagos viene dado por un valor, el cual satisface unas condiciones razonables que hacen que sea la mejor solución para el problema. En la vida real, situaciones políticas, sociales o económicas pueden imponer ciertas restricciones en la formación de coaliciones. Esta idea ha llevado a varios autores a desarrollar modelos de cooperación parcial, como los de Myerson (1977), Owen (1977), Casajus (2007), Herings et al. (2010), Gilles et al. (1992), Jiménez-Losada et al. (2010), etc.
En ciertos contextos la cooperación parcial es representada por un grafo donde los vértices representan a los jugadores y las aristas a las comunicaciones factibles. En otras situaciones puede venir dada por coaliciones difusas, introducidas por Aubin en 1981. En ellas la implicación de cada jugador en una coalición es nivelada. Jiménez-Losada et al. (2010) introducen grafos difusos para indicar además comunicación parcial entre los jugadores. En esta tesis definimos y axiomatizamos algunos valores para juegos con grafos difusos en la primera parte. En la segunda parte usamos relaciones difusas de proximidad para indicar cercanía ideológica entre los jugadores, y construimos y axiomatizamos valores para juegos en estas situaciones. En ambas partes la herramienta principal de nuestro estudio es la integral de Choquet.
La estructura de la tesis es la siguiente: En el capítulo 1 introducimos los aspectos básicos que son necesarios para nuestro estudio: juegos cooperativos, valores de Shapley y Banzhaf, teoría de grafos, conjuntos difusos e integral de Choquet.
En la parte I (Capítulos 2,3 y 4) estudiamos valores para juegos cooperativos con comunicación difusa. En el capítulo 2, presentamos el modelo de Myerson, i.e., un modelo para construir valores para situaciones de comunicación usando valores clásicos y una medida que da el beneficio potencial para cualquier situación de comunicación fijado un juego cooperativo. Asimismo introducimos el concepto de estructura de comunicación difusa y definimos algunos casos particulares que serán útiles en los capítulos siguientes. Para nuestro propósito, necesitamos definir el concepto de partición por niveles de un grafo difuso como una secuencia de niveles y grafos usuales. Después, extendemos el concepto de medida, que depende de la partición elegida, a estructuras de comunicación difusa. A continuación introducimos una partición específica, la partición Choquet por grafos que está basada en la integral de Choquet. El estudio posterior de valores estará centrado en grafos difusos con dicha partición.
En los capítulos 3 y 4 recordamos las definiciones de varios valores de comunicación: Myerson, Banzhaf para grafos, posición y el valor de media en árboles. En primer lugar mostramos las primeras axiomatizaciones que pueden ser encontradas en la literatura. Seguidamente, usamos la partición Choquet por grafos y el modelo de Myerson difuso para definir sus versiones difusas. También damos axiomatizaciones y estudiamos dos clases de estabilidad: por comunicación y por grafos.
En la parte II (Capítulos 5, 6 y 7), particularizamos nuestro estudio a relaciones de proximidad. Estas relaciones difusas pueden ser útiles para expresar cercanía de ideas por ejemplo.
En el Capítulo 5, presentamos el modelo de Owen que está basado en la existencia de un conjunto de uniones a priori sobre el conjunto de jugadores, y el modelo de Casajus, que extiende al anterior para situaciones de cooperación. Damos la definición de relación de proximidad y la fórmula general para construir valores de proximidad usando valores de cooperación y la integral de Choquet. En la última sección presentamos varias maneras y propiedades para reducir la imagen de la relación de proximidad, que serán útiles para definir axiomas y probar la unicidad de nuestros valores de proximidad.
En el capítulo 6 recordamos algunos valores conocidos para juegos con uniones a priori y algunas de sus axiomatizaciones: Owen, Banzhaf-Owen y valor simétrico coalicional de Banzhaf. Puesto que el único que ha sido analizado para estructuras de cooperación es el valor de Owen (llamado Myerson-Owen value en estas estructuras), este capítulo se dedica a definir y axiomatizar las versiones de Banzhaf para estas estructuras. Además se obtiene una axiomatización diferente del valor de Myerson-Owen. Usando la integral de Choquet y los valores del capítulo anterior, en el capítulo 7 se hace un estudio similar con los valores de proximidad.
En el apéndice aplicamos nuestros valores difusos en un contexto político, específicamente en el Parlamento Europeo. Los valores Choquet por grafos servirán para medir el poder de la componente nacional y el aspecto ideológico será medido por los valores de proximidad. Se dan gráficos y tablas comparativas.
En conclusión, hemos continuado el trabajo iniciado en Jiménez-Losada et al. (2010) definiendo y estudiando algunos valores más para juegos con cooperación restringida por estructuras de comunicación difusa. Además hemos iniciado el estudio de juegos con relaciones de proximidad, introduciendo y axiomatizando algunos valores para estas situaciones. La aplicabilidad de estos conceptos queda patente en el apéndice de este trabajo.
