On some families of links and new approaches to link homologies

• Autores: Marithania Silvero Casanova
• Directores de la Tesis: Pedro María González Manchón (dir. tes.), Juan González-Meneses López (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Sevilla ( España ) en 2016
• Idioma: español
• Número de páginas: 92
• Tribunal Calificador de la Tesis: Fernando Muro Jiménez (presid.), Daniel Jeremi Forrest Fox (secret.), Luis Paris (voc.), Hugh Morton (voc.), Józef H. Przytycki (voc.)
• Programa de doctorado: Programa de Doctorado en Matemáticas por la Universidad de Sevilla
• Materias:
  • Matemáticas
    • Álgebra
    • Topología
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: Idus
• Resumen
  • español

    Esta tesis se enmarca dentro de la Teoría de Nudos. En los Capítulos 1 y 2 se usan herramientas clásicas para estudiar las propiedades de ciertas familias de enlaces y las relaciones de inclusión entre ellas. En los Capítulos 3 y 4 se estudian nuevas aproximaciones a invariantes homológicos de enlaces introducidos en este siglo. En 1983 Louis Kauffman conjeturó que las familias de enlaces alternativos y pseudoalternantes eran iguales. En el Capítulo 1 se prueba esta conjetura para el caso de enlaces cuyo primer número de Betti es menor que 3. También se dan dos contraejemplos que muestran que, en general, la conjetura no es cierta. El polinomio de Conway de los enlaces positivos es positivo. En el Capítulo 2 se extiende esta propiedad a la familia de enlaces fuertemente cuasipositivos con índice de trenza 3. Asímismo, se prueba que esta propiedad no puede ser extendida a los enlaces fuertemente cuasipositivos con índice de trenza mayor que 5. El Capítulo 3 se centra en los intentos de dar una definición de la homología Knot Floer en términos de los estados FKT de Kaffman. Concretamente, se muestra la no invariancia de una propuesta de Y. Rong bajo el movimiento de Reidemeister II. En el Capítulo 4 se da una definición geométrica de la cohomología extrema de Khovanov, en términos del grafo de Lando asociado al diagrama de un enlace. Este nuevo punto de vista permite construir una familia de nudos H-gruesos cuya cohomología extrema de Khovanov cuenta con tantos grupos no triviales como se desee. Los conceptos y resultados básicos asociados a cada capítulo se encuentran recogidos en sus respectivas introducciones. Asímismo, al final de cada uno de ellos se incluyen cuestiones abiertas a las que da lugar el trabajo desarrollado.

  • English

    This thesis falls within the scope of Knot Theory. In Chapters 1 and 2 we use classical tools for studying the properties and relations among some families of links. In Chapters 3 and 4 we discuss new approaches to homological link invariants introduced in this century. In 1983 Louis Kauffman conjectured that the families of alternative and pseudoalternating links coincide. In Chapter 1 we prove that this conjecture holds for the special case of links whose first Betti number is at most 2. We also disprove the conjecture for the general case by showing two counterexamples. Positive links have positive Conway polynomial. In Chapter 2 we extend this property to the family of strongly quasipositive links whose braid index equals 3. Moreover, we prove that this result cannot be extended when considering strongly quasipositive links whose braid index is greater than 5. Chapter 3 focuses in the attemps of giving a definition of Knot Floer homology in terms of Kauffman FKT-states. Namely, we show that the definition given by Y. Rong is not invariant under the Reidemeister II move. In Chapter 4 we give a geometric realization of the extreme Khovanov cohomology in terms of the Lando graph associated to a link diagram. This new approach allows us to give a family of H-thick knots with any number of nontrivial extreme Khovanov cohomology modules. Each chapter has its own introduction containing its associated motivation and background. Moreover, at the end of each of them we have included open questions related to the results exposed in the chapter.