Resumen de Curvas hiperelípticas modulares
Una vez demostrada la Conjetura de Shimura-Taniyana-Weil, parece natural determinar otras familias de curvas definidas sobre Q que sean modulares, entendida la modularidad de una curva como la propiedad de admitir un recubrimiento definido sobre Q desde alguna curva modular X1(N).
El estudio de curvas de género mayor que uno definidas sobre Q que son modulares presenta diferencias notables respecto del caso de curvas elípticas definidas sobre Q. Por este motivo, introducimos la noción de curva modular nueva de nivel N. Tales curvas son aquellas para las cuales los correspondiente morfismos entre las jacobinas factorizan a través de la parte nueva de la jacobiana de X1(N).
El principal resultado teórico de esta tesis es el que establece que el conjunto de las curvas hiperelípticas modulares nuevas, salvo Q-isomorfismo, es finito. Tras haber obtenido este inesperado resultado, nuestro objetivo se ha encaminado en la determinación de estas curvas, es decir, a encontrar ecuaciones y los correspondientes morfismos que las hacen modulares. Para ello, hemos acotado sus géneros y encontrado condiciones sobre los niveles correspondientes. Creando paquetes computacionales, que recogían los resultados teóricos demostrados, y utilizando propiedades de las curvas modulares y de las curvas hiperelípticas, hemos conseguido probar que solamente existen 213 de tales curvas con género mayor que dos, hemos calculado 75 de tales curvas y presentamos evidencias numéricas que sugieren que estas 288 curvas son todas las curvas hiperelípticas modulares nuevas, salvo Q-isomorfismo.
