Resumen de Control óptimo y robusto H[signo de infinito] de sistemas no lineales: aplicaciones a sistemas electromecánicos
La teoría de control automático ha experimentado un notable desarrollo en los últimos tiempos especialmente en el campo de los sistemas no lineales. Son aportaciones relativamente recientes los paradigmas de control basados en pasividad, teoría de sistemas disipativos o funciones de Lyapunov para control.
Otras metodologías, como el control óptimo H2 o el control robusto H?, son hoy día técnicas maduras para las cuales se dispone de eficientes herramientas matemáticas de diseño, especialmente en el marco lineal. Existen además notables aplicaciones de estas metodologías a problemas prácticos en diferentes campos, que van desde la industria de procesos, a aplicaciones de la industria aeronáutica. En todos ellos, las técnicas de control mencionadas han exhibido notables resultados, mostrando que es posible incluir de forma conveniente en su formulación, aspectos tales como la robustez ante incertidumbres de modelado, o rechazo robusto de perturbaciones, tan importantes en las aplicaciones prácticas.
Sin embargo, para poder emplear estas técnicas de control, es necesario que los sistemas a controlar sean lineales o puedan ser razonablemente descritos mediante un sistema o conjunto de sistemas lineales en una determinada zona de operación. Sistemas típicos de esta naturaleza aparecen, por ejemplo, en la industria de procesos donde generalmente las dinámicas asociadas pueden ser en muchas ocasiones aproximadas por sistemas lineales de primer o segundo orden y el punto de operación suele variar en tiempos característicos mucho mayores que el de la dinámica dominante del sistema.
En otras muchas ocasiones, sin embargo, la presencia de no linealidades en la dinámica del sistema hace que estas metodologías se muestren claramente inapropiadas. Es más, aún en el caso de conseguir diseños estables para el comportamiento de la planta, éstos suelen proporcionar soluciones excesivamente conservativas que a menudo obligan a relajar las exigencias de comportamiento sobre el sistema controlado, y distan por tanto de la solución óptima deseable. Parece pues razonable pensar, que para este tipo de sistemas es conveniente eludir la aproximación lineal anteriormente mencionada, y recurrir a un diseño del control directamente en el marco no lineal.
La extensión no lineal de las metodologías de control óptimo H2 y el control robusto H? están en la actualidad sólidamente fundamentadas, si bien no son frecuentes las aplicaciones a problemas de índole práctica. Esto es debido a que la formulación matemática de estos problemas en el marco no lineal conduce por lo general a expresiones matemáticas complejas que no permiten a menudo obtener soluciones explícitas que resulten fáciles de implementar. Dos son las estrategias habitualmente empleadas para dar solución a este problema: una posibilidad consiste en obtener una expresión aproximada del controlador, empleando generalmente un método numérico apropiado. Esta solución dista en ocasiones de ser satisfactoria, al obtenerse a menudo comportamiento de naturaleza excesivamente local. Otro enfoque consiste en simplificar y/o adaptar la dinámica no lineal del sistema, para obtener expresiones que puedan ser resueltas e forma explícita para el controlador. Esta aproximación no esta exenta tampoco de inconvenientes ya que en ocasiones obliga a imponer simplificaciones excesivamente severas sobre la dinámica del sistema.
En este trabajo de Tesis se propone seguir la segunda de estas metodologías restringiendo la aplicación a un tipo de sistemas en particular. Concretamente nos centraremos en la formulación de soluciones de control óptimo H2 y control robusto H? no lineal para sistemas Euler-Lagrange. Dentro de esta categoría de sistemas podemos encontrar buena parte de los dispositivos electromecánicos empleados habitualmente en la industria tales como robots. Sistemas de posicionamiento, ciertos tipos de robots móviles, e incluso algunos sistemas aeronáuticos simplificados. Las potenciales aplicaciones prácticas de estos métodos son pues notables.
Es bien conocido por otro lado, que las formulaciones de los problemas de control óptimo H2 y control robusto H?, si bien son diferentes en cuanto a su naturaleza y los objetivos de control planteados, exhiben notables conexiones desde el punto de vista de su formulación. Así, la metodología de control óptimo H2 formula su objetivo de control en términos de la minimización de un índice de comportamiento integral cuadrático, sin incluir de forma explícita consideraciones acerca de la robustez del diseño, mientras que el control robusto H? en cambio plantea el objetivo de control en términos de una optimización de la relación de atenuación de energía de un determinado canal entrada-salida, permitiendo incorporar la noción e robustez en el diseño del control.
Estas particularidades junto con la mencionada similitud en la formulación matemática de ambos problemas, han motivado la aparición de estrategias de control híbrido H2/H? que ponderan los beneficios derivados de la aplicación de ambas técnicas de control. En este trabajo de Tesis se presenta como contribución, una aproximación híbrida H2/H? para sistemas dinámicos Euler-Lagrange formulada en el marco no lineal, junto con aplicaciones a un robot industrial, una plataforma giroestabilizada de dos grados de libertad y un robot de accionamiento directo también de dos grados de libertad.
Otra contribución novedosa de este trabajo de Tesis, reside en la formulación y resolución de una estrategia de control H? para sistemas Euler-Lagrange, empleando únicamente medidas de posición del sistema controlado. Este problema es de especial interés desde un punto de vista práctico, ya que buena parte de los sistemas electromecánicos usados habitualmente en la industria, incorporan únicamente sensores de posición, siendo necesario obtener las medidas de velocidad o incluso aceleraciones a partir de aquellas.
Las técnicas de control empleadas habitualmente para el control e sistemas electromecánicos requieren como mínimo la realimentación de las medidas de posición y velocidad de los grados de libertad del sistema. El procedimiento más corriente para obtener la medida de velocidad, suele ser la derivación numérica y posterior filtrado de la señal de posición. Esta heurística de estimación de la velocidad, conduce sin embargo en muchas ocasiones a una degradación notable del comportamiento del sistema controlado, llegando en ocasiones a inestabilizar el sistema. Dos son los motivos principales para este comportamiento: Por un lado, los ruidos eléctricos y errores de cuantización de las medidas e posición, tienden a amplificarse con el empleo de métodos de derivación numéricos que, si bien pueden atenuarse mediante filtrado, introducen retardos en la cadena de realimentación con el consiguiente deterioro del sistema controlado.
Por otro lado, con esta metodología de diseño, el controlador se obtiene generalmente bajo la hipótesis de un conocimiento perfecto de la medida de velocidad y, por tanto, no se contemplan en el proceso de síntesis del control las inevitables imperfecciones de estimación de la velocidad. Este desacoplo entre estimación de velocidad y diseño del control, conduce a deterioros imprevisibles en el comportamiento del sistema controlado.
Resulta por tanto interesante, integrar el proceso de estimación de la velocidad dentro de la estructura de control del sistema para poder garantizar, al menos bajo ciertas condiciones, un buen comportamiento del sistema controlado. En este sentido, la metodología de control robusto H? presentada como contribución en este trabajo de Tesis permite integrar una estructura de observador del vector de estados del sistema, con una ley de control que permite garantizar el nivel de rechazo de perturbaciones del problema H? estándar. Los resultados obtenidos son de naturaleza local y requieren que el error de estimación inicial sea suficientemente pequeño.
Para comprobar la validez de los controladores propuestos, los resultados han sido implementados sobre los sistemas experimentales previamente mencionados: un robot industrial, una plataforma giroestabilizada de dos grados de libertad y un robot de accionamiento directo también de dos grados de libertad, mostrando interesantes resultados en cada uno de los casos.
En una línea de trabajo, hasta cierto punto diferente de las descritas hasta este momento, abordamos en este trabajo de Tesis el problema de estabilización de oscilaciones con aplicaciones a sistemas electromecánicos subactuados.
En los últimos tiempos ha surgido un renovado interés por este problema, motivado por la necesidad de inducir comportamiento oscilatorios de determinadas magnitudes dinámicas en ciertas aplicaciones. Algunas de estas aplicaciones podrían ser, por ejemplo, los robots caminantes, donde las patas del robot que deben moverse según un movimiento alternativo o periódico para lograr un movimiento efectivo, o inversores de potencia, en los que la tensión o corriente son las magnitudes que deben oscilar de acuerdo con unas determinadas características.
Resulta interesante mencionar que la naturaleza del problema planteado es diferente del problema de seguimiento de trayectorias periódicas, para el cual es necesario proporcionar al sistema una referencia periódica exógena. En el problema de control de oscilaciones planteado, en cambio, el comportamiento oscilatorio surge de la aparición de un ciclo límite estable en la dinámica del sistema controlado mediante una ley de realimentación de estados apropiada. El objetivo de este problema es por tanto, inducir un comportamiento oscilatorio estructuralmente estable en el sistema controlado, sin referencias externas.
Como aportación al problema del control de oscilaciones descrito, este trabajo de Tesis adapta ciertas ideas asociadas a las técnicas de control hamiltoniano al marco de control Hinfty no lineal. Como se verá, la estructura de control resultante permite inducir comportamientos oscilatorios notablemente robustos, aún en presencia de perturbaciones acotadas L2.
Adicionalmente, para la síntesis del control, se propone un método numérico basado en una adaptación para ecuaciones de Hamilton-Jacobi-Bellan del conocido método de Galerkin. La solución proporcionada por esta metodología tiene naturaleza local y ha sido validada, tanto de simulación como experimentalmente, sobre un péndulo de Furuta.
