From Particles to Continua: Mathematical Analysis of Collective Phenomena in Cellular Dynamics and Fluid Mechanics

• Autores: Alexis Béjar López
• Directores de la Tesis: Juan Soler Vizcaíno (codir. tes.), Pierre-Emmanuel Jabin (codir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Granada ( España ) en 2026
• Idioma: inglés
• ISBN: 9791370152505
• Número de páginas: 159
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: DIGIBUG
• Resumen
  • español

    Muchos fenómenos naturales pueden describirse a escala microscópica considerando sistemas compuestos por un gran número de partículas en interacción. La dinámica de cada partícula viene dada por sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias o estocásticas acopladas. Sin embargo, aunque esta perspectiva basada en partículas proporciona una descripción detallada y fundamental, se vuelve rápidamente intratable cuando el número de partículas crece. Para superar estas limitaciones se suelen buscar descripciones macroscópicas que capturen el comportamiento colectivo del sistema en términos de cantidades promediadas o continuas. Estos modelos, típicamente expresados mediante ecuaciones en derivadas parciales (EDPs), ofrecen un marco poderoso para conectar las interacciones microscópicas con los patrones macroscópicos observados a mayor escala, sin necesidad de seguir a cada partícula individualmente. La presente tesis está dedicada a la formulación y análisis de modelos que surgen en contextos físicos, biológicos y sociales, abordados tanto desde la perspectiva microscópica como macroscópica. A nivel microscópico, estudiamos la dinámica a largo plazo de sistemas con un gran número de partículas en interacción. Por otra parte, en el nivel macroscópico consideramos dos modelos distintos: uno que describe cómo la presión regula el crecimiento y la motilidad de poblaciones celulares, y otro que aborda la dinámica de fluidos con micropartículas en suspensión que influyen en su dinámica (fluidos micropolares). La tesis se estructura de la siguiente manera: • El Capítulo 1 ofrece una introducción general a los marcos teóricos en los que se sitúan los problemas estudiados en este trabajo: sistemas de muchas partículas, modelización matemática de poblaciones celulares y mecánica de fluidos. • El Capítulo 2, basado en el trabajo [7] realizado en colaboración con A. Blaustein, P.-E. Jabin y J. Soler, estudia la dinámica a largo plazo de grandes sistemas de partículas bajo interacciones singulares y condiciones iniciales no caóticas. La idea clave consiste en aprovechar la difusión para controlar las interacciones mediante una desigualdad de Sobolev óptima en el toro. Para caracterizar la regularidad requerida se emplean técnicas de interpolación entre espacios de Sobolev, mientras que métodos entrópicos y desigualdades clásicas del análisis funcional se utilizan para estudiar el comportamiento asintótico. • El Capítulo 3, correspondiente a [9] en colaboración con R. Granero– Belinchón, C. Pulido y J. Soler, desarrolla y analiza un modelo de difusión cruzada para poblaciones celulares bajo efectos de presión. El modelo acopla la densidad de población con el área ocupada. El buen planteamiento del sistema asociado se demuestra utilizando técnicas de regularización y compacidad, mientras que el comportamiento global en el tiempo de las soluciones y la evolución de su soporte se estudian mediante métodos de EDPs parabólicas no lineales. • El Capítulo 4, publicado en Physica D: Nonlinear Phenomena [8] en colaboración con C. Cunha y J. Soler, se centra en el estudio de existencia y unicidad de solución para el problema de Cauchy asociado al modelo de fluidos micropolares incompresibles con datos iniciales singulares en dimensión dos. El análisis, basado en técnicas de regularización, estimaciones a priori y compacidad, introduce los espacios de Morrey como un marco funcional adecuado para captar soluciones singulares como son las medidas soportadas sobre curvas, y explora cómo las microestructuras influyen en la aparición y persistencia de configuraciones singulares. • El Capítulo 5 resume las principales contribuciones de la tesis, presenta algunos trabajos en curso y discute posibles líneas de investigación futura.

  • English

    Many natural phenomena can be described at the microscopic scale by considering systems composed of a large number of interacting particles. The dynamics of each particle can then be represented by coupled ordinary or stochastic differential equations. While this particle-based perspective offers a detailed and fundamental description, it rapidly becomes intractable as the number of particles grows. To overcome these limitations, one often seeks macroscopic descriptions that capture the collective behavior of the system through averaged or continuum quantities. Such models, typically expressed as partial differential equations (PDEs), provide a powerful framework for connecting microscopic interactions with the macroscopic patterns observed at larger scales, without the need to track each particle individually. This thesis is devoted to the formulation and analysis of models arising in physical, biological, and social contexts, approached from both microscopic and macroscopic perspectives. At the microscopic level, we study the long-time dynamics of large systems of interacting particles. On the macroscopic side, we consider two distinct models: one describing how pressure regulates the growth and motility of cell populations, and another addressing the dynamics of fluids with suspended microparticles that interact with the flow (micropolar fluids). The thesis is structured as follows: • Chapter 1 provides a general introduction to the theoretical frameworks underlying the problems studied in this work: large particle systems, mathematical modeling of cell populations, and fluid mechanics. • Chapter 2, based on the work [7] in collaboration with A. Blaustein, P.-E. Jabin, and J. Soler, investigates the long-time dynamics of interacting particle systems with singular interactions and non-chaotic initial conditions. The key idea is to exploit diffusion to control interactions via a sharp Sobolev inequality on the torus. Interpolation between Sobolev spaces is used to quantify the regularity required, while entropy methods and classical inequalities from functional analysis are employed to study asymptotics. • Chapter 3, corresponding to [9] in collaboration with R. Granero– Belinchón, C. Pulido, and J. Soler, develops and analyzes a crossdiffusion model for cell populations under pressure effects. The model couples the population density with the occupied area. Well-posedness is established using regularization and compactness techniques, while the global-in-time behavior of solutions and the evolution of their support are studied through nonlinear parabolic PDE methods. • Chapter 4, published in Physica D: Nonlinear Phenomena [8] in collaboration with C. Cunha and J. Soler, focuses on the existence and uniqueness of solution to the Cauchy problem for the two-dimensional incompressible micropolar fluid model with singular initial data. The analysis, based on regularization, a priori estimates, and compactness methods, introduces Morrey spaces as a suitable functional setting for capturing singular solutions such as measures supported on curves, and explores how microstructures influence the emergence and persistence of singular configurations. • Chapter 5 summarizes the main contributions of the thesis, outlines ongoing work, and discusses possible directions for future research.