Preservers on Jordan–Banach algebras

• Autores: Gerardo Martín Escolano
• Directores de la Tesis: Antonio Miguel Peralta Pereira (codir. tes.), Armando Reyes Villena Muñoz (codir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Granada ( España ) en 2026
• Idioma: inglés
• ISBN: 9791370152055
• Número de páginas: 182
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  • Tesis en acceso abierto en: DIGIBUG
• Resumen

  • El objetivo principal de esta tesis doctoral es contribuir al desarrollo de la teoría de las JB∗- y JBW∗-álgebras, con especial énfasis en los problemas de preservación, comúnmente conocidos como ”preservers’ problems”, en estos espacios, así como a la solución completa del famoso problema de Mackey-Gleason para JBW∗-algebras. Los ”preservers’ problems” aparecen en diversas ramas de las matemáticas. Esto no es sorprendente, ya que en muchos contextos es natural preguntarse sobre qué transformaciones sobre una estructura dada conservan alguna propiedad (el significado de esta ”propiedad” está bien definido en el problema específico y se relaciona con la estructura subyacente). Un ”preservers’ problem” destacado consiste en preguntar cuándo las hipótesis tradicionales de linealidad pueden ser eliminadas en resultados clásicos, a cambio de asumir la conservación de alguna otra propiedad algebraica o geométrica. Por ejemplo, el famoso teorema de Gleason-Kahane-Żelazko establece que un funcional lineal no nulo φ : A→C, donde A es un álgebra de Banach compleja y asociativa, es multiplicativo si y sólo si toma valores en el espectro de cada elemento, es decir, φ(a) ∈ σ(a) para todo elemento a ∈ A. Motivados por este resultado, podemos considerar el siguiente ”preservers’ problem”: Sea φ : A→C un funcional, no necesariamente lineal, multiplicativo definido sobre un álgebra de Banach compleja y unital. Supongamos que para cada x ∈ A se cumple que φ(x) pertenece al espectro de x. ¿Es φ un funcional lineal multiplicativo sobre A? Este problema fue considerado por primera vez por Maouche en [65], donde se concluye que la respuesta no es siempre afirmativa. No obstante, existen respuestas positivas a éste problema para los siguientes casos: para C∗-álgebras conmutativas y unitales por Touré y Brits [94], para álgebras de von Neumann por Touré, Shulz y Brits [95], y para C∗-álgebras unitales por Brits, Mabrouk y Touré [22]. El Capítulo 3 de esta memoria está dedicado a dar una respuesta afirmativa al problema anterior en el contexto de las álgebras de Jordan-Banach complejas y unitales. La Sección 3.2 constituye el núcleo técnico del capítulo y contiene diversas fórmulas de Lie–Trotter en el ámbito de las álgebras de Jordan-Banach.