Geometric and algebraic links in real and complex operator algebras and Jordan structures: Derivations, (M-)Ideals, and Preservers

• Autores: Shanshan Su
• Directores de la Tesis: Jiankui Li (codir. tes.), Antonio Miguel Peralta Pereira (codir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Granada ( España ) en 2026
• Idioma: inglés
• ISBN: 9791370153328
• Número de páginas: 244
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: DIGIBUG
• Resumen
  • español

    La teoría de operadores y las álgebras de operadores constituyen un lenguaje común para el análisis funcional, la geometría no conmutativa y la información cuántica. Esta tesis desarrolla puentes geométricos y algebraicos entre contextos asociativos y de Jordan, tanto en el marco complejo como en el real, a través de tres líneas temáticas estrechamente relacionadas: las derivaciones y conceptos afines, los M-ideales e ideales internos, y los problemas de preservación. En primer lugar, dentro del marco de las álgebras de Banach determinadas por el producto nulo (zpd), demostramos que toda álgebra asociada a un retículo conmutativo de subespacios completamente distributivo (CDCSL), y en particular toda álgebra de nidos, es zpd. Aprovechando este hecho, obtenemos una descripción completa de las aplicaciones lineales continuas que son anti-derivables en cero sobre álgebras CDCSL. Más generalmente, se establece una caracterización equivalente para aplicaciones definidas sobre álgebras de Banach zpd con unidades aproximadas acotadas. Como aplicación, identificamos y subsanamos una laguna en una demostración de la literatura relacionada, y obtenemos además el resultado correspondiente para las álgebras C∗ mediante un método nuevo. En segundo lugar, llevamos a cabo un estudio sistemático de las derivaciones generalizadas. Cuando el dominio es una álgebra C∗, mostramos que tres nociones distintas de derivación generalizada son equivalentes, siendo la continuidad automática el elemento central del análisis. Asimismo, establecemos la continuidad automática para una cierta clase de derivaciones de Jordan generalizadas y probamos que, cuando el dominio es una álgebra C∗, dichas aplicaciones son de hecho derivaciones generalizadas. En el contexto no asociativo, analizamos las triple derivaciones generalizadas sobre JB∗-triples mostrando que tales aplicaciones, con valores en cualquier JB∗-triple o en su predual, son automáticamente continuas; que, sobre JB∗-álgebras, admiten una descomposición estructural como suma de una triple derivación y un elemento simétrico del centroide; y, finalmente, que bajo hipótesis suaves, las triple derivaciones generalizadas locales coinciden con las triple derivaciones generalizadas sobre álgebras C∗. En tercer lugar, abordamos problemas de preservación intrínsecos a las estructuras de Jordan. Introducimos y estudiamos aplicaciones que preservan truncaciones de productos triples en ambas direcciones. Tales aplicaciones preservan los tripotentes y el orden parcial natural, y, sobre JBW∗-triples atómicos (esto es, la clausura débil∗ del span lineal de sus tripotentes minimales), bajo la hipótesis de que sean continuas en factores de Cartan de rango uno, demostramos que son isomorfismos triples real-lineales e isométricos. Finalmente, en el contexto real, resolvemos un problema abierto de larga data demostrando que los M-ideales en JB∗-triples reales son exactamente los ideales triples norm-cerrados, con los correspondientes resultados análogos para las álgebras C∗ reales. Revisamos asimismo los M-ideales y los M-ideales laterales en álgebras de operadores (de Jordan) reales desde el punto de vista de los espacios operadores. Además, aclaramos la relación entre los ideales internos y la suavidad de Hahn–Banach (propiedad de extensión única de Hahn–Banach): aunque todo ideal interno norm-cerrado es Hahn–Banach suave, el recíproco falla en general; aportamos condiciones suficientes que garantizan que los subtriples Hahn–Banach suaves sean ideales internos, así como sus análogos débil∗ en JBW∗-triples atómicos. Desde el punto de vista técnico, este trabajo combina la propiedad de estar determinada por el producto nulo, los bimódulos de Banach y la regularidad de Arens, los multiplicadores y centroides de álgebras de Banach, así como la estructura facial y las propiedades estructurales de los JB(W)∗-triples reales y complejos. Las herramientas y conclusiones obtenidas contribuyen a los problemas de preservación, a la teoría de continuidad automática y al análisis estructural de álgebras no asociativas reales y complejas, aportando nuevas perspectivas sobre la interacción entre propiedades geométricas y algebraicas en teoría de operadores y álgebras de operadores.

  • English

    Operator theory and operator algebras form a common language for functional analysis, non-commutative geometry, and quantum information. This dissertation develops geometric and algebraic bridges across associative and Jordan settings, over both the complex and real operator algebras, through three intertwined themes: derivations and their derived concepts, M-ideals and inner ideals, and preservers. First, within the framework of zero product determined (zpd) Banach algebras, we prove that every completely distributive commutative subspace lattice (CDCSL) algebra (hence every nest algebra) is zpd. Exploiting this, we obtain a complete description of continuous linear maps that are anti-derivable at zero on CDCSL algebras. More generally, an equivalent characterization for maps on zpd Banach algebras with bounded approximate units is given. As an application, we identify and fill a gap in a proof in a relevant literature, and we obtain the corresponding result for the C∗-algebras by a new method. Second, we undertake a systematic study of generalized derivations. When the domain is C∗-algebras, three different notions of generalized derivations are shown to be equivalent, with automatic continuity at the core. We further establish automatic continuity for a class of generalized Jordan derivations and prove that, when the domain is a C∗-algebra, these are in fact generalized derivations. In the non-associative situation, we analyze generalized triple derivations on JB∗-triples by showing that such maps into every JB∗-triple or its predual are automatically continuous; showing on JB∗-algebras, they admit a structural decomposition as the sum of a triple derivation and a symmetric centroid element; and lastly, showing that under mild hypotheses, local generalized triple derivations coincide with generalized triple derivations on C∗-algebras. Third, we address preserver questions intrinsic to Jordan structures. We introduce and study maps that preserve truncations of triple products in both directions. These maps preserve tripotents and the natural partial order, and on atomic JBW∗-triples (weak∗-closure of the linear span of their minimal tripotents), under the assumption that these maps are continuous on rank-one Cartan factors, they are shown to be isometric real-linear triple isomorphisms. Finally, in the real setting, we resolve a long-standing problem by proving that M-ideals in real JB∗-triples are precisely the norm-closed triple ideals (with corresponding statements for real C∗-algebras). We revisit M-ideals and one-sided M-ideals in real (Jordan) operator algebras from an operator-space viewpoint. Moreover, we clarify the relationship between inner ideals and Hahn-Banach smoothness (unique Hahn-Banach extension property): while every norm-closed inner ideal is Hahn-Banach smooth, the converse fails in general; we provide sufficient conditions ensuring Hahn-Banach smooth subtriples are inner ideals (and the weak∗ analogues in the atomic JBW∗-triples). Technically, the work blends zero product determined property, Banach bimodules and Arens regularity, multipliers and centroids of Banach algebras, and the facial structure and structure properties of real and complex JB(W)∗-triples. The resulting tools and conclusions contribute to preserver problems, automatic continuity theory, and the structural analysis of real and complex non-associative algebras, offering some insights into the interplay between geometric and algebraic properties in operator theory and operator algebras.