Totally Artinian rings related to a torsion theory

• Autores: Issam El Mariami
• Directores de la Tesis: Pascual Jara Martínez (codir. tes.), Luis Miguel Merino González (codir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Granada ( España ) en 2026
• Idioma: inglés
• ISBN: 9791370153069
• Número de páginas: 99
• Títulos paralelos:
  • Anillos totalmente Artinianos relativos a una teoría de torsión
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: DIGIBUG
• Resumen

  • Estudiamos anillos conmutativos y la estructura multiplicativa de los ideales sobre estos anillos. Así planteado, el problema es muy amplio; por esta razón nos centramos en algunos anillos especialmente sencillos: anillos de dimensión pequeña. Utilizamos como herramienta fundamental el espectro primo y subconjuntos del mismo. En este contexto, en el estudio de problemas relativos a un conjunto de ideales primos, aparecen las teorías de torsión hereditarias, que fundamentalmente tienen por objetivo la localización de un anillo y sus módulos, generalizando la construcción de anillo y módulo de fracciones, y probando que es una herramienta esencial si estudiamos conjuntos con un número no finito de ideales primos. Asociado a un subconjunto multiplicativo del anillo, o más general, a una teoría de torsión hereditaria, tenemos nuevos retículos de ideales y de submódulos. Estos retículos ponen de manifiesto propiedades relativas a conjuntos de ideales primos y subconjuntos genéricamente estables del espectro. El estudio de estos nuevos retículos proporciona propiedades funtoriales y nos da nuevos tipos de anillos y módulos, principalmente relacionados con condición de cadenas y de finitud (anillos y módulos Artinianos y Noetherianos). Para una mejor aproximación a estos anillos y módulos, y para estudiar propiedades aritméticas de los mismos, recientemente se han introducido nuevos conceptos relativos a condiciones de finitud que permiten una mejor descripción, aún perdiendo propiedades funtoriales. Si A es un anillo conmutativo con unidad, Σ ⊆ A un subconjunto multiplicativo y M un módulo sobre A, decimos que M es totalmente finitamente generado si existen elementos m1, . . . ,mt ∈ M y s ∈ Σ tales que Ms ⊆ (m1, . . . ,mt) ⊆ M. De forma natural aparecen los conceptos de módulos totalmente Noetherianos y su dual módulos totalmente Artinianos. Una referencia clave aquí es el artículo: [2]. Queda por extender esta teoría a considerar ideales de A, y no necesariamente elementos; esta teoría es iniciada en [17] considerando un conjunto de ideales finitamente generados cerrado para la multiplicación, lo que permite considerar ideales no necesariamente principalesextendiendo así la teoría relativa a subconjuntos multiplicativos.. Esto nos lleva a estudiar un tipo especial de tth’s: Las teorías de torsión de tipo finito, que son precisamente las teorías de torsión hereditarias definidas por subconjuntos genéricamente estables y casi-compactos del espectro de A. Con este bagaje introducimos conceptos como módulos totalmente de torsión, anillos y módulos totalmente Artinianos, Noetherianos, módulos totalmente finitamente generados, cogenerados, etc. También presentaremos la versión tth de muchos teoremas bien conocidos del álgebra conmutativa: El lema de Nakayama, Teorema de estructura de Cohen, Teorema Chino del resto, Teorema de estructura de los anillos artinianos, Teorema de la base de Hilbert, . . . Todos los anillos que se consideran son anillos conmutativos con unidad, a menos que se indique lo contrario. El capítulo uno está dedicado a presentar las herramientas y definiciones básicas que necesitaremos más adelante, por lo que en él definimos: teorías de torsión hereditarias, teorías de torsión hereditarias de tipo finito, módulos σ-–finitamente generados, módulos σ–Noetherianos, anillos σ–Noetherianos, anillos totalmente σ– Noetherianos, submódulos σ–cerrados, submódulos σ-–densos, módulos totalmente σ-–finitamente cogenerados, σ–dimensión, anillos σ-–locales, etc. El capítulo dos tiene como objetivo establecer conexiones entre los anillos totalmente Artinianos y los totalmente Noetherianos, y caracterizar los primeros, inicialmente mediante la localización en ideales máximos y, posteriormente, como resultado, demostrando que el anillo A es totalmente Artiniano si, y solo si, tiene una imagen homomórfica artiniana con un núcleo de torsión total. La teoría se desarrolla aún más abordando varios problemas abiertos y presentando ejemplos ilustrativos. El objetivo central es ofrecer ejemplos de estos tipos de anillos explorando su estructura subyacente. El capítulo tres tiene como objetivo estudiar los anillos conmutativos utilizando las condiciones de finitud, que son una herramienta útil para aproximar su estructura. Estas condiciones de finitud se reflejan, de alguna manera, en su espectro; por ejemplo, si A es un anillo noetheriano, entonces Spec(A) es un espacio topológico noetheriano; lo contrario no es necesariamente cierto. La noetherianidad de Spec(A) tiene una consecuencia interesante en el comportamiento de las teorías de torsión hereditarias en Mod–A: estas son de tipo finito; es decir, para cualquier teoría de torsión hereditaria σ en Mod–A existe un conjunto cofinal de L(σ) formado por ideales finitamente generados. Otro objetivo es estudiar anillos y módulos a través de teorías de torsión hereditarias de tipo finito. Por lo tanto, nos limitamos a considerar teorías de torsión hereditarias definidas por ideales finitamente generados y condiciones de finitud relativas a éstas, extendiendo algunos tipos de anillos y módulos como (totalmente) noetherianos o (totalmente) artinianos. El capítulo cuatro está dedicado al estudio de los ideales principales de un anillo conmutativo A, es decir, aquellos que son generados por un solo elemento. El anillo A es un anillo de ideales principales (PIR) siempre que todos sus ideales sean principales. Si imponemos además que A es un dominio integral, entonces decimos que A es un dominio de ideales principales (PID). Nuestro objetivo aquí es traducir esto a una construcción similar de A extendiendo la configuración clásica a otra basada en teorías de torsión hereditarias. Como resultado, obtenemos una nueva clase de anillos llamados totalmente σ-PIR. En resumen, el capítulo cuatro incluye tres resultados importantes: (1) Si se considerar un conjunto multiplicativo cerrado adecuado Σ, entonces A es totalmente σΣ-PIR implica que Σ−1A es un PIR; pero lo contrario no es cierto. (2) Al considerar una relación de equivalencia en el conjunto de todos los ideales totalmente σ-primos de A y σ una teoría de torsión hereditaria de tipo finito, entonces el conjunto de elementos mínimos en K (σ) es finito. (3) Introducimos (sub)módulos σ–cíclicos, y deducimos que el módulo localizado Mσ de un módulo σ–cíclico σ M también lo es, y terminamos con una observación sobre en qué caso podríamos tener lo contrario de esta última propiedad.