Nonlinear reconstructions: High order PPH methods

• Autores: Isabel María Jiménez Iniesta
• Directores de la Tesis: Juan Carlos Trillo Moya (dir. tes.), Juan Ruiz Álvarez (codir. tes.)
• Lectura: En la Universidad Politécnica de Cartagena ( España ) en 2025
• Idioma: inglés
• Número de páginas: 102
• Títulos paralelos:
  • Reconstrucciones no lineales: Métodos PPH de alto orden
• Tribunal Calificador de la Tesis: Sonia Busquier Sáez (presid.), Vicente Francisco Candela Pomares (secret.), Neus Garrido Sáez (voc.)
• Programa de doctorado: Programa de Doctorado en Tecnología y Modelización en Ingeniería Civil, Minera y Ambiental por la Universidad Politécnica de Cartagena
• Materias:
  • Matemáticas
    • Análisis numérico
      • Construcción de algoritmos
      • Análisis de errores
      • Interpolación aproximación y ajuste de curvas
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: Repositorio Digital de la UPCT
• Resumen
  • español

    Esta tesis se dedica al estudio de operadores de reconstrucción no lineales, con especial atención a aquellos que se adaptan a la presencia de discontinuidades y que conservan propiedades clave como el orden de aproximación, la preservación de la convexidad y la estabilidad en esquemas de subdivisión. Uno de los principales aportes es la definición y análisis de un nuevo operador de reconstrucción no lineal de orden 6 en mallados no uniformes, lo que permite extender la teoría a operadores de orden a un mayor.

    Inicialmente, se analiza el método PPH, conocido por su capacidad para generar esquemas de subdivisión que preservan la convexidad de los datos. A partir de este análisis, se introducen nuevas medias que permiten definir variantes del método PPH con mayor orden de aproximación y aplicables a mallados no uniformes. Posteriormente, se generaliza el operador PPH de orden 4 al caso de orden 6, manteniendo la adaptabilidad a discontinuidades y la preservación de propiedades geométricas. Además, se propone un nuevo operador con mejores propiedades de preservación de la convexidad, con vistas a su extensión a órdenes superiores.

    Los objetivos principales incluyen: el estudio del operador PPH y su estabilidad en datos convexos; la definición de nuevas medias que simplifiquen el análisis teórico y mantengan un comportamiento práctico adecuado; la extensión del operador PPH a orden 6 en mallados no uniformes; y el diseño de un nuevo operador con mejor preservación de la convexidad. Cada uno de estos objetivos se desarrolla en un capítulo de la tesis. Los dos primeros ya han sido publicados en revistas científicas de prestigio, mientras que los dos restantes están en proceso de preparación para su publicación.

    La metodología empleada sigue el enfoque clásico de investigación científica: revisión bibliográfica, formulación de nuevas propuestas, validación teórica y verificación mediante experimentos numéricos. Se comparan los resultados obtenidos con métodos existentes para destacar las mejoras introducidas.

    Esta tesis presenta cuatro contribuciones fundamentales en el ámbito de las técnicas numéricas no lineales: • Esquemas de subdivisión: Se analiza el esquema PPH, destacando su capacidad para preservar la convexidad y mejorar la estabilidad en la generación de curvas y superficies.

    Estos esquemas tienen aplicaciones en ingeniería, diseño por ordenador y procesamiento de señales.

    • Medias power p: Se introduce una nueva media no lineal dependiente de un parámetro p, útil para resolver leyes de conservación con alta precisión y adaptarse a discontinuidades.

    Se proponen extensiones con mejores propiedades de Lipschitz.

    • Interpolación no lineal de alto orden: Se desarrolla un operador de reconstrucción no lineal de sexto orden adaptado a discontinuidades en mallados no uniformes, con aplicaciones en compresión de imágenes, wavelets y aproximación numérica de ecuaciones en derivadas parciales.

    • Reconstrucción simétrica: Se propone un nuevo operador simétrico que conserva la convexidad en mallados uniformes, con potencial para extenderse a órdenes superiores.

  • English

    This thesis is devoted to the study of nonlinear reconstruction operators, with special attention to those that adapt to the presence of discontinuities and preserve key properties such as approximation order, convexity preservation, and stability in subdivision schemes. One of the main contributions is the definition and analysis of a new sixth-order nonlinear reconstruction operator on nonuniform meshes, which opens the door to extending the theory to even higher-order operators. Initially, the PPH method is analyzed, known for its ability to generate subdivision schemes that preserve the convexity of the input data. Based on this analysis, new means are introduced that allow for the definition of PPH-like methods with higher approximation order and applicability to nonuniform meshes. Subsequently, the fourth-order PPH operator is generalized to the sixthorder case, maintaining adaptability to discontinuities and preservation of geometric properties. In addition, a new operator is proposed with improved convexity-preserving properties, with the aim of extending it to higher orders. The main objectives include: the study of the PPH operator and its stability on convex data; the definition of new means that simplify theoretical analysis while maintaining practical performance; the extension of the PPH operator to sixth order on nonuniform meshes; and the design of a new operator with improved convexity preservation. Each of these objectives is developed in a dedicated chapter of the thesis. The first two have already been published in prestigious scientific journals, while the remaining two are in preparation for publication. The methodology follows the classical scientific research approach: literature review, formulation of new proposals, theoretical validation, and verification through numerical experiments. The results obtained are compared with existing methods to highlight the improvements introduced. This thesis presents four fundamental contributions in the field of nonlinear numerical techniques: Subdivision schemes: The PPH scheme is analyzed, highlighting its ability to preserve convexity and improve stability in the generation of curves and surfaces. These schemes have applications in engineering, computer-aided design, and signal processing. power p means: A new nonlinear mean depending on a parameter p is introduced, useful for solving conservation laws with high accuracy and adapting to discontinuities. Extensions with improved Lipschitz properties are proposed. High-order nonlinear interpolation: A sixth-order nonlinear reconstruction operator adapted to discontinuities on nonuniform meshes is developed, with applications in image compression, wavelets, and numerical approximation of partial differential equations. Symmetric reconstruction: A new symmetric operator is proposed that preserves convexity on uniform meshes, with potential for extension to higher orders.