Compactificaciones de Bohr y casi periodicidad

• Autores: Tomás Vidal González
• Directores de la Tesis: Juan Matías Sepulcre Martínez (dir. tes.)
• Lectura: En la Universitat d'Alacant / Universidad de Alicante ( España ) en 2024
• Idioma: español
• Tribunal Calificador de la Tesis: José María Almira Picazo (presid.), Lorena Segura Abad (secret.), José Antonio Prado Bassas (voc.)
• Programa de doctorado: Programa de Doctorado en Métodos Matemáticos y Modelización en Ciencias e Ingeniería por la Universidad de Alicante
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: RUA
• Resumen
  • español

    Esta tesis doctoral, realizada bajo la dirección de Juan Matías Sepulcre Martínez, supone para este doctorando culminar un periodo extenso de investigación iniciada hace ya bastantes años en el seno del antiguo Departamento de Análisis Matemático y continuada en el tiempo en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Alicante. Fruto de este trabajo de investigación conjunta, son varios los artículos ya publicados (en los que el doctorando figura como coautor) que están contextualizados en el tópico de la tesis. Sin embargo, esta memoria incluye también material original reciente, surgido en el periodo de matrícula en el doctorado, que ha dado lugar a varios preprints que se han enviado o se enviarán próximamente para su posible publicación en revistas de reconocido prestigio. La memoria de la tesis se divide en seis capítulos y comienza con una introducción en la que se exponen las principales herramientas de trabajo y la notación básica utilizada a lo largo de todo el texto. Los conceptos de propiedad de Q−estructura, matrices de Q−estructura, sistema y límite inverso o compactificación de Bohr serán los protagonistas principales de esta parte introductoria. Los capítulos 2, 3 y 4 tienen una estructura similar. A partir de la propiedad de Q−estructura (en términos de relación de equivalencia) y la noción de matrices de Q−estructura de vectores o redes compuestas de una respectiva cantidad finita, infinita numerable y continua de números reales, construiremos espacios vectoriales relacionados con las clases de equivalencia generadas por tal relación de equivalencia. A partir de ello se formarán los subgrupos abelianos compactos en el toro que nos conducirán a compactificaciones de Bohr para los distintos casos expuestos en esta memoria (que son únicas en las clases de equivalencia conteniendo los vectores prefijados). Aunque la mayoría de los resultados tratados se extienden desde el caso finito al caso infinito numerable y continuo, las herramientas utilizadas en las demostraciones de cada uno de estos capítulos serán distintas por el hecho de trabajar con cardinales y contextos distintos. En concreto, el objetivo principal del capítulo 2 es la construcción de subconjuntos concretos del toro N-dimensional, con N∈N (dado por el producto cartesiano de N copias del toro 1−dimensional), que están conectados de una forma específica con las clases de equivalencia originadas a partir de la propiedad de Q−estructura para vectores de números reales. De hecho, demostraremos que estos subconjuntos constituyen grupos abelianos compactos que desembocan en compactificaciones de Bohr de ciertas líneas y espacios vectoriales asociados con los vectores prefijados de números reales, e incluso en compactificaciones de Bohr de los espacios euclídeos R^k para un cierto k∈N. Con la ayuda de la noción de sistema y límite inverso, en el capítulo 3 acabaremos construyendo subconjuntos concretos del toro infinito-numerable-dimensional (dado por el producto cartesiano infinito numerable de copias del toro 1−dimensional) que están conectados con las clases de equivalencia originadas a partir de la propiedad de Q−estructura para vectores (con una cantidad infinita numerable de componentes) de números reales. Demostraremos que estos subconjuntos nos ayudan a establecer conexiones y caracterizar la propiedad de Q−estructura. Finalmente, analizaremos la compacidad de tales conjuntos, lo que nos conducirá a establecer compactificaciones de Bohr de ciertas líneas y espacios vectoriales asociados con los vectores prefijados de números reales e incluso son compactificaciones de Bohr de los espacios euclídeos R^k para un cierto k∈N∪{∞}. En el capítulo 4 construiremos subconjuntos concretos del toro infinito-continuo-dimensional (dado por el producto cartesiano de un continuo de copias del toro 1−dimensional) que están conectados con las clases de equivalencia originadas a partir de la propiedad de Q−estructura para redes compuestas de un continuo de números reales. Mostraremos la relación concreta entre tales subconjuntos y caracterizaremos la propiedad de Q−estructura en términos de ellos. Posteriormente extenderemos al caso continuo los resultados sobre las compactificaciones de Bohr de los dos capítulos anteriores, y proporcionaremos una demostración del potente resultado consistente en afirmar que estos subconjuntos constituyen compactificaciones universales de Bohr del conjunto de los números reales, lo que constituye una propiedad más exigente que la de la compactificación de Bohr. En el capítulo 5 expondremos otras relaciones de equivalencias definidas sobre los espacios R^N, T^N y C^N, con N∈N∪{∞}, que nos conducirán a otras compactificaciones de Bohr. Además, mostraremos que estas nuevas compactificaciones de Bohr dan lugar a ciertas teselaciones del toro infinito y de sus conjuntos isomorfos. Probaremos algunas caracterizaciones de estas equivalencias en términos de las llamadas órbitas de puntos en tales espacios. Otras caracterizaciones de estas nuevas equivalencias nos darán pie en el capítulo 6 a establecer vínculos con la teoría de las funciones casi periódicas y las sumas exponenciales. En particular, veremos la diferencia existente entre Bohr-equivalencia (basadas en la definición que manejó Harald Bohr en el contexto de las series generales de Dirichlet) y nuestra propuesta de SV-equivalencia para las funciones incluidas en los espacios de funciones casi periódicas definidas en los números reales o en bandas verticales del plano complejo. Este estudio conlleva un desarrollo importante para la comprensión de los pilares principales de la teoría de las funciones casi periódicas. La inclusión de ejemplos y de etiquetas en la mayoría de las definiciones y resultados es otra característica en la redacción de esta memoria que pretende hacer más amena la lectura.

  • English

    This doctoral thesis, carried out under the direction of Juan Matas Sepulcre Martnez, represents for this PhD student the culmination of an extensive period of research that began a long time ago within the old Department of Mathematical Analysis and continued over time at the Department of Mathematics of the University of Alicante.

    As a result of this joint research work, this PhD student has in his curriculum over twenty research papers (with direct involvement of the author and director of the thesis, the rst of which was published in 2012) that have been accepted in journals of great impact or international prestige in the eld of Mathematical Analysis. This PhD student has also delivered several scienti c communications at national and international conferences, the last of which is a conference on the topic of the thesis given at the beginning of this year in an interdisciplinary workshop organized by UNED in Madrid.

    Although the rst studies of this PhD student were those of the degree in Laws at the University of Alicante (which culminated with the practice of law over several years of career professional), his interest in science, particularly physics and mathematics, led this doctoral student to enroll at UNED in studies in Physics and to take some mathematics subjects. Finally, after leaving the practice of law, this PhD student graduated in Physics from the UNED in 2009 and this training has always been very important to explore and deal with di erent research topics that culminate for the moment with the development of this thesis.

    There are several articles already published (in which the PhD student appears as a co-author) that are contextualized with the topic of the thesis. However, this thesis report also includes recent original material, emerged during the registration period for the doctorate, that has given rise to several preprints that have been or will soon be sent for possible publication in prestigious journals. The papers and preprints most related to the contents of this thesis are the following:

    J.M. Sepulcre, T. Vidal, Almost periodic functions in terms of Bohr's equivalence relation, Ramanujan J., 46 (1) (2018) 245{267; Corrigendum, ibid, 48 (3) (2019) 685{ 690.

    J.M. Sepulcre, T. Vidal, A new geometrical perspective on Bohr-equivalence of exponential polynomials, Anal. Math. Phys., 19 pages, DOI: 10.1007/s13324-021-00498-0, 2021.

    J.M. Sepulcre, T. Vidal, Bohr compacti cations associated with the property of Q-structure for nite sets of real numbers, Preprint, 2024.

    J.M. Sepulcre, T. Vidal, Bohr compacti cations associated with the property of Q-structure for countable sets of real numbers, Preprint, 2024.

    J.M. Sepulcre, T. Vidal, A universal Bohr compacti cation of the set of the real numbers in terms of the property of Q-structure, Preprint, 2024.

    In this way, beyond this summary, the thesis report is divided into six chapters and it begins with an introduction that sets out the main work tools and the basic notation used throughout the entire text. The concepts of Qstructure property, Qstructure matrices, inverse system and limit or Bohr compacti cation will be the main focus of this introductory part.

    Chapters 2, 3 and 4 will have a similar structure. From the property of Qstructure (in terms of equivalence relation) and the notion of Qstructure matrices for vectors or nets composed of a respective nite, countable in nite and continuous quantity of real numbers, we will construct vector spaces related to the equivalence classes generated by such equivalence relation. From this, we will construct the compact Abelian subgroups of the torus that will lead us to Bohr compacti cations for the distinct cases presented in this thesis report (which are unique in the equivalence classes containing the pre xed vectors). Although most of the exposed results are extended from the nite case to the countably in nite case and to the continuous case, the tools used in the proofs of each of these chapters will be di erent due to the fact of working with distinct cardinals and contexts.

    Speci cally, the main objective of chapter 2 is the construction of concrete subsets of the N-dimensional torus TN, with N 2 N (given by the Cartesian product of N copies of the 1dimensional torus), which are connected in a speci c way to the equivalence classes originated from the property of Qstructure for vectors of real numbers. In fact, we will show that these subsets constitute compact Abelian groups (see Corollary 2.11) that lead to Bohr compacti cations of certain lines and vector spaces associated with the pre xed vectors of real numbers (see Corollaries 2.18, 2.19 and 2.20), and even in Bohr compacti cations of Euclidean spaces Rk for a certain k 2 N (see Corollary 2.21).

    With the help of the notion of system and inverse limit (see De nition 1.11), in chapter 3 we will construct concrete subsets of the in nite-countable-dimensional torus T1 (given by the Cartesian product of a countably in nite amount of copies of the 1dimensional torus) that are connected to the equivalence classes originated from the property of Qstructure for vectors (with a countably in nite number of components) of real numbers (see the constructions of such sets in de nitions 3.11 and 3.12, and Remark 3.15 about the fact that they are not identi able sets). We will show that these subsets help us establish connections and characterize the property of Qstructure (see respectively Proposition 3.17 and Theorem 3.19). Finally, we will analyze the compactness of such sets (see Theorem 3.23 and Example 3.20), which will lead us to establish Bohr compacti cations of certain lines and vector spaces associated with the pre xed vectors of real numbers (see Corollaries 3.35, 3.36 and 3.37) and are even Bohr compacti cations of the Euclidean spaces Rk for a certain k 2 N [ f1g (see Corollary 3.38).

    If c denotes the cardinality of the continuum, in Chapter 4 we will construct concrete subsets of the continuous torus Tc (given by the Cartesian product of a continuum of copies of the 1dimensional torus) which are connected with the equivalence classes originated from the property of Qstructure for nets composed of a continuum of real numbers (see De nitions 4.20 and 4.22). We will show the concrete connection between such subsets (see Theorem 4.26) and characterize the property of Qstructure in terms of them (see Corollary 4.27). Later we will extend the results on Bohr compacti cations from the two previous chapters to the continuous case (see Corollaries 4.30 and 4.31), and we will provide a proof of the powerful result consisting of stating that these subsets constitute Bohr universal compacti cations of the set of real numbers (see De nition 4.32 and Theorem 4.33), which constitutes a more demanding property than that of Bohr compacti cation.

    In chapter 5 we will expose other equivalence relations de ned on the spaces RN, TN and CN, with N 2 N [ f1g (see De nitions 5.1, 5.10, 5.18, 5.22 and 5.25), which will lead us to other Bohr compacti cations (see Proposition 5.9). Furthermore, we will show that these new Bohr compacti cations give rise to certain tessellations of the in nite torus and its isomorphic sets (see Remark 5.15). We will prove some characterizations of these equivalences in terms of the so-called orbits of points in such spaces (see De nitions 5.11 and 5.24, Proposition 5.12 and Remark 5.26). Other characterizations of these new equivalences (given in Theorems 5.16 and 5.19, and Corollary 6.11) will be used in Chapter 6 in order to establish close connections with the theory of almost periodic functions and exponential sums. In particular, we will show the di erence between Bohr-equivalence of De nitions 6.3 and 6.7 (based on the notion used by Harald Bohr in the context of the general Dirichlet series) and our proposal of SV-equivalence for the functions included in the spaces of almost periodic functions de ned on the real numbers or on vertical strips in the complex plane (see De nitions 6.4 and 6.8). This study, with Theorem 6.12 as an unifying thread, entails an important development for the understanding of the main pillars of the theory of almost periodicity.

    The inclusion of examples and labels in most of de nitions and results is another feature in the way of writing of this report which aims make reading more enjoyable.