Resumen de Semi-implicit well-balanced schemes for 1D shallow flows
En esta tesis se abordan algunos problemas relacionados con la resolución numérica de sistemas hiperbólicos de leyes de equilibrio. En particular, se tratan el sistema constituido por las ecuaciones de aguas someras o aguas poco profundas (shallow water), y el sistema de Ripa, que corresponde a una variación del sistema de ecuaciones de aguas someras en que se consideran de forma especial las variaciones de temperatura.
El objetivo principal de esta tesis es el diseño de métodos numéricos de carácter implícito para estos sistemas. La ventaja de los métodos implícitos con respecto a los explícitos en este caso tiene que ver con la eficiencia computacional en situaciones en las que el número de Froude es bajo.
Asimismo, nos preocuparemos especialmente de que los esquemas desarrollados sean esquemas bien equilibrados (well-balanced). Esto es, esquemas que preserven en algún sentido las soluciones de equilibrio, también denominadas estados estacionarios, que son aquellas que no dependen del tiempo. En el caso en el que un método numérico preserva una cierta familia de estados estacionarios diremos que es well-balanced, mientras que si preserva todos los posibles estados estacionarios lo denominaremos fully well-balanced.
El diseño de métodos numéricos implícitos bien equilibrados se aborda en este trabajo utilizando dos estrategias diferentes. Por un lado, en los Capítulos 2 y 3 se aplica la estrategia Lagrangiano-Proyectado, que consiste, en cada iteración temporal, en resolver primero el sistema en coordenadas Lagrangianas, para proyectar a continuación la solución así obtenida en coordenadas Eulerianas. Por otro lado, en el Capítulo 4 aplicaremos técnicas de splitting y de relajación, lo que resultará en la resolución de dos sistemas, en lugar de uno, en cada paso de tiempo. Ambas estrategias nos permiten desacoplar los fenómenos acústicos y de transporte presentes en nuestras ecuaciones, así como diseñar de forma natural esquemas implícito-explícitos. Esto resulta especialmente útil en la aproximación de flujos subsónicos o de número de Froude pequeño, en que la restricción CFL habitual debida a las ondas acústicas conduce a pasos de tiempo muy pequeños. El uso de esquemas implícitos para el sistema de presión hace que la restricción CFL se reduzca al paso de transporte y se evite en el paso acústico, más restrictivo.
En general, el procedimiento que seguimos comienza por considerar la discretización espacial mediante el método de volúmenes finitos del sistema estudiado, particionando el dominio del problema en una serie de celdas computacionales que conformarán nuestra malla. Tras esto obtenemos un esquema semi-discreto en tiempo, que constituye un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. Finalmente, se aplica un resolvedor en tiempo a ese sistema de EDOs. En función del resolvedor que se considere se obtendrá un tipo de esquema u otro: explícito, implícito o semi-implícito.
