Resumen de On the geometry around an operator between Banach spaces
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El objetivo de esta tesis es estudiar y analizar diferentes conceptos relacionados con la geometría del espacio de los operadores lineales y continuos entre espacios de Banach alrededor de un operador fijado. Esta tesis sigue el formato de agrupación de publicaciones y su contenido está organizado en seis capítulos, cada uno correspondiendo a un artículo independiente.
El Capítulo I [1] consiste en un profundo estudio del índice numérico respecto a un operador entre espacios de Banach. Esta noción es la mejor constante de equivalencia entre la norma usual de operadores y el radio numérico respecto a un operador. En primer lugar, damos algunas herramientas que serán de ayuda a la hora de estudiar este concepto y presentamos algunos resultados sobre índice numérico respecto a operadores adjuntos y de rango uno. Después, nos centramos en el conjunto de los posibles valores que puede tomar el índice numérico respecto a todos los operadores de norma uno entre dos espacios de Banach. Por ejemplo, probamos que este conjunto es trivial cuando el dominio o el codominio es un espacio de Hilbert real o bien el espacio de los operadores compactos definidos en un espacio de Hilbert real. También estudiamos este conjunto para algunos espacios de Banach clásicos, como el espacio real Lp o el espacio de las funciones continuas en un espacio de Hausdorff compacto. Por otro lado, mostramos que el concepto de rango numérico Lipschitz para aplicaciones Lipschitz de un espacio de Banach en sí mismo se puede ver como un caso particular de rango numérico respecto a un operador lineal entre espacios de Banach convenientemente elegidos. Para finalizar este capítulo, presentamos algunos resultados sobre la estabilidad de este concepto cuando construimos operadores diagonales entre algunas sumas de espacios de Banach, cuando consideramos operadores de composición en algunos espacios de funciones con valores vectoriales, cuando tomamos el adjunto de un operador y, finalmente, cuando componemos dos operadores.
En el Capítulo II [3], trabajamos con el índice numérico (i.e., el índice numérico respecto al operador identidad) de ideales de operadores y productos tensoriales. Demostramos que el índice numérico de un ideal de operadores con la norma usual es menor o igual que el mínimo de los índices numéricos del dominio y del codominio. Para el espacio de operadores compactos y el de operadores débilmente compactos obtenemos desigualdades más fuertes que nos permiten dar ejemplos interesantes. También probamos que el índice numérico de un producto tensorial proyectivo o inyectivo de espacios de Banach es menor o igual que el índice numérico de cualquiera de los factores. Además, probamos que si el producto tensorial proyectivo de dos espacios de Banach tiene la propiedad de Daugavet y uno de los factores verifica que su bola unidad es SCD o que su dual contiene un punto de diferenciabilidad Fréchet para la norma, entonces el otro factor hereda la propiedad de Daugavet. Por otro lado, si el producto tensorial inyectivo de dos espacios de Banach tiene la propiedad de Daugavet y uno de los factores contiene un punto de diferenciabilidad Fréchet para la norma, entonces el otro factor tiene la propiedad de Daugavet.
Los Capítulos III [5] y IV [6] están dedicados al problema de calcular el índice numérico del espacio Lp real de dimensión dos. Para ello, primero trabajamos en cualquier espacio real de dimensión dos dotado de una norma absoluta y simétrica y damos una cota inferior para el índice numérico de dichos espacios. Además, probamos que en muchos casos el índice numérico coincide con la cota dada y, como consecuencia, calculamos el índice numérico del espacio Lp real de dimensión dos para valores de p entre 3/2 y 3. En nuestro segundo acercamiento trabajamos directamente en el espacio Lp real de dimensión dos y calculamos su índice numérico para valores de p entre 6/5 y 3/2, así como entre 2 y 6.
En el Capítulo V [2], introducimos y estudiamos el concepto de operador generador. Estos operadores son aquellos que general la bola unidad del dominio por envolvente convexa y cerrada de los puntos donde el operador casi alcanza su norma. Damos una útil caracterización de los operadores generadores en términos de la geometría de ciertos subconjuntos de los espacios duales. Analizamos también la relación de los operadores generadores con la propiedad de alcanzar la norma. Mientras los operadores generadores de rango uno o aquellos cuyo dominio tiene la propiedad de Radon-Nikodým alcanzan su norma, hay operadores generadores, incluso de rango dos, que no alcanzan su norma. Además, caracterizamos la posibilidad de que un espacio de Banach X sea el dominio de un operador generador que no alcance su norma en términos del comportamiento de ciertos conjuntos del dual de X. Por otro lado, estudiamos el conjunto de todos los operadores generadores entre dos espacios de Banach X e Y. En esta línea, probamos que este conjunto genera la bola unidad del espacio de los operadores lineales y continuos entre X e Y por envolvente convexa y cerrada cuando X es el espacio de las sucesiones absolutamente sumables y, de hecho, esta es la única posibilidad en caso real para espacios de dimensión finita.
En el Capítulo VI [4], usando su conexión con el rango numérico abstracto, presentamos un método general y extensamente aplicable para abordar la ortogonalidad de Birkhoff-James. De manera más precisa, caracterizamos la ortogonalidad de Birkhoff-James en un espacio de Banach Z en términos de las acciones de los funcionales que pertenece a un subconjunto del dual que es uno-normante para Z. Este método general se puede aplicar en numerosos casos para obtener tanto resultados ya conocidos, como pueden ser las caracterizaciones de ortogonalidad de Birkhoff-James en el espacio de operadores dotado con la norma usual de operadores o con el radio numérico, como nuevos resultados sobre ortogonalidad de Birkhoff-James en espacios de funciones acotadas con valores vectoriales y en sus subespacios. Además, damos aplicaciones para vectores y operadores lanza. Concretamente, probamos que ningún punto suave de un espacio de Banach Z puede ser Birkhoff-James ortogonal a un vector lanza de Z. Cuando Z es el espacio de los operadores lineales y continuos entre espacios de Banach, esto nos lleva a obtener resultados obstructivos para la existencia de operadores lanza y para que un espacio de Banach tenga índice numérico uno.
- English
The aim of this thesis is to study and analyse different notions related to the geometry of the space of all bounded linear operators between Banach spaces around a fixed operator. The dissertation follows a compendium form, and its content is organized in six chapters, each of them corresponding to an independent paper.
Chapter I [1] consists of a thorough study of the numerical index with respect to an operator between Banach spaces. This notion is the best constant of equivalence between the usual operator norm and the numerical radius with respect to an operator. We first provide some tools to study this concept and present some results dealing with the numerical index with respect to adjoint operators and rank-one operators. Then, we focus on the set of values of the numerical indices with respect to all norm-one operators between two Banach spaces. For instance, we show that this set is trivial when the domain or the codomain is a real Hilbert space or the space of compact operators on a real Hilbert space. We also study this set for some classical Banach spaces such as the real Lp space or the space of continuous functions on a compact Hausdorff topological space. Additionally, we show that the concept of Lipschitz numerical range for Lipschitz self-maps of a Banach space is a particular case of numerical range with respect to a convenient linear operator between two different Banach spaces. To finish this chapter, we provide some results showing the behaviour of this concept when we apply some Banach space operations, such as constructing diagonal operators between some sums of Banach spaces, considering composition operators between vector-valued function spaces, taking the adjoint of an operator, and composing two operators.
In Chapter II [3], we deal with the Banach numerical index (i.e., the numerical index with respect to the identity operator) of operator ideals and tensor products. We show that the numerical index of any operator ideal endowed with the operator norm is less than or equal to the minimum of the numerical indices of the domain and of the codomain. We present stronger inequalities for the numerical indices of the spaces of compact and weakly compact operators, which allow to give interesting examples. We also prove that the numerical index of a projective or injective tensor product of Banach spaces is less than or equal to the numerical index of any of the factors. Furthermore, we show that if a projective tensor product of two Banach spaces has the Daugavet property and one of the factor satisfies that its unit ball is slicely countably determined or that its dual contains a point of Fréchet differentiability of the norm, then the other factor inherits the Daugavet property. On the other hand, if an injective tensor product of two Banach spaces has the Daugavet property and one of the factors has a point of Fréchet differentiability of the norm, then the other factor has the Daugavet property.
Chapter III [5] and IV [6] are devoted to the problem of calculating the numerical index of the real Lp space of dimension two. To do so, we first deal with two-dimensional real spaces endowed with an absolute and symmetric norm and give a lower bound for the numerical index of such spaces. Moreover, we show that in many instances the numerical index coincides with the given bound and, as a consequence, we compute the numerical index of the real Lp space of dimension two for values of p between 3/2 and 3. In our second approach, we directly work in the real Lp space of dimension two and calculate its numerical index for values of p between 6/5 and 3/2, as well as between 2 and 6.
In Chapter V [2], we introduce and study the concept of generating operator. These operators are those which generate the unit ball of the domain by closed convex hull of the points where the operator almost attains its norm. We provide a useful characterization of generating operators in terms of the geometry of some subsets of the dual spaces. Additionally, we study the relationship between generating operators and norm-attainment. While generating operators having rank one and those whose domain has the Radon-Nikodým property attain their norm, there are generating operators, even of rank two, which do not attain their norm. We also discuss the possibility for a Banach space X to be the domain of a generating operator which does not attain its norm in terms of the behaviour of some sets of the dual of X. Furthermore, we study the properties of the set of all generating operators between two Banach spaces X and Y. In this line, we show that this set generates the unit ball of the space of all bounded linear operators from X to Y by closed convex hull when X is the space of absolutely summable sequences and that this is the only possibility for real finite-dimensional spaces.
In chapter VI [4], we present a widely applicable approach to address Birkhoff-James orthogonality by using its connection with abstract numerical range. More precisely, we characterize Birkhoff-James orthogonality and smooth points in a Banach space Z in terms of the actions of functionals in a subset of its dual which is one-norming for Z. This general approach can be applied in several cases to obtain known results, such as the characterization of Birkhoff-James orthogonality in the space of operators between Banach spaces endowed with the operator norm or with the numerical radius, as well as new results on Birkhoff-James orthogonality in spaces of vector-valued bounded functions and in their subspaces. Furthermore, we provide applications to the study of spear vectors and spear operators. Specifically, we prove that no smooth point of a Banach space Z can be Birkhoff-James orthogonal to a spear vector of Z. In the case when Z is the space of all bounded linear operators between Banach spaces, this leads to obstructive results for the existence of spear operators and for a Banach space to have numerical index one.
