Resumen de Test d'hipòtesi com a selecció de models. Una aproximació geomètrica.
Marta Cubedo Culleré
Lobjectiu general daquest treball és posar de relleu alguns problemes relacionats amb la teoria dels tests dhipòtesis i aportar nous elements que donin uns criteris per a la selecció de models estadístics. Per això usarem principalment, com a mitjà, tècniques geomètriques en el context de lestadística, i així proposarem noves metodologies, alternatives o complementàries a les tècniques clàssiques, basades en les propietats geomètriques dels models estadístics. En tot aquest treball es tractarà, de forma unificada, el problema de lespecificació del model i els tests dhipòtesis. Per aclarir una mica més aquesta idea podem dir que es tractaran els tests dhipòtesis des de la perspectiva de la selecció de models, en el sentit que acceptar una hipòtesi consistirà, essencialment, en acceptar que un model descriurà els trets més rellevants de una part de la realitat millor, segons uns criteris prèviament explicitats, que un altre més complex. Per tant els tests dhipòtesis i la selecció de models es tractaran a través dunes mateixes eines metodològiques.
De fet, dintre del context dels tests dhipòtesis, es donen una sèrie de paradoxes que moltes vegades passen desapercebudes, o bé són acceptades, pels estadístics, i no estadístics, que els utilitzen, però que deixen entreveure unes certes mancances a nivell conceptual. Recordem, que en la formulació clàssica dels tests dhipòtesis, moltes vegades saccepta una hipòtesi la qual sabem, estrictament parlant, que és falsa. Però prendre aquests tipus de decisions pot ser raonable per diverses raons: doncs un model més senzill ens pot permetre sintetitzar o simplificar una realitat complexa, facilitant, a més, la predicció de nous resultats amb un cert grau de fiabilitat. El que no sembla doncs massa raonable és que aquestes decisions entre hipòtesis es prenguin en base a les seves probabilitats, o probabilitats condicionades, derror, donat que sabem, en sentit estricte, que són falses.
Des daquest punt de vista, i tal com es desenvolupa en la secció 2 del capítol 1,la qüestió bàsica de la inferència estadística no hauria de ser: Quina és la probabilitat que una afirmació donada sigui certa?, doncs sabem que cap afirmació és estrictament certa, en el sentit que els models utilitzats en aquest context són només aproximacions de la realitat. Més aviat,la qüestió bàsica hauria de ser: quant allunyada està una determinada afirmació de la realitat?, suposant, és clar,que sha definit una distància per mesurar-ho. Dit en altres paraules, una estructura formal per a determinats tipus de raonaments inductius shauria de fonamentar més en una mesura de proximitat a la realitat, que no pas en una probabilitat. De fet, la probabilitat és una molt bona eina per quantificar la propensió a ocórrer dels esdeveniments observables, doncs parlem en termes de si un esdeveniment ocorre o no, i no pas en termes de si aquest esdeveniment és vertader o fals. En aquest sentit la probabilitat és una eina bàsica per construir models teòrics de fenòmens observables, però en inferència estadística, segons el que hem comentat anteriorment,sembla més adient utilitzar una distància.
En aquest treball sha intentat donar una metodologia alternativa basada en distàncies sobre els models estadístics paramètrics. Com és ben sabut, aquests models, sota certes condicions generals de regularitat, tenen estructura de varietat Riemanniana,de manera que apareix com a distància natural la distància Riemanniana, la qual podem utilitzar com a eina per quantificar lerror estadístic.
En el capítol 2 es proposen quatre mètodes, tot i que, de fet, podríem parlar dun únic mètode en el sentit que tots ells comparteixen una mateixa filosofia de fons que simplementa, a efectes pràctics, segons les diferents preferències a lhora de treballar en estadística: freqüentista o Bayesiana, utilitzant probabilitats o bé moments. Cal tenir en compte també que tots ells es basaran en lacceptació dun estimador convenient pel model general, com per exemple lestimador m`aximversemblant, del vertader valor del paràmetre. Així doncs, i seguint la línia que hem comentat a linici daquest paràgraf, els quatre mètodes sorgeixen de les combinacions de dues regles i dos procediments. Les regles es defineixen per comparar els errors fets en realitzar les estimacions sota lespai general de paràmetres i sota el subespai definit per la hip`otesi nul.la, en una regla es comparen probabilitats i en laltra moments, rebent els noms de reglap i reglam, respectivament.
Els dos procediments es defineixen per obtenir una estimació en la mesura de lerror sota el subespai de paràmetres definit per la hipòtesi nul.la, utilitzant una aproximació freqüentista en un cas, i una Bayesiana en laltre. Aquest dos procediments rebran el nom de procedimentf i procedimentb respectivament. En aquest segon capítol es tractarà també,la relació entre hipòtesis simples i compostes i les distribucions asimptòtiques dalgunes de les distàncies que apareixen en els mètodes anteriorment descrits.
Des del tercer capítol fins al sisé, es veuran diferents aplicacions dels mètodes a diferents models estadístics coneguts, com és el cas del model normal n-variant amb § coneguda, el model Poisson, el model Gamma i el model lineal normal.
Notem però, que en el capítol 4 es donarà una aproximació asimptòtica per a un model estadístic paramètric regular n-dimensional general, això es farà utilitzant un dels mètodes abans proposats.
Finalment sestudiarà el comportament dels mètodes proposats quan no es compleix una de les suposicions bàsiques plantejades en aquest nou desenvolupament metodològic: quan no podem suposar que la probabilitat a priori corresponent a la hipòtesi nul¢la, o submodel, és zero. Veurem com en aquest cas encara es donen resultats raonables, la qual cosa mostra la robustesa daquests nous mètodes.
