Resumen de Generation of stochastic trajectories: applications to complex systems
- español
La generación de trayectorias estocásticas es una de las técnicas predilectas para el estudio de sistemas complejos. Para empezar, el análisis de las trayectorias brinda información relevante a simple vista (por ejemplo, sobre las escalas características, el tamaño de las fluctuaciones, la duración de fases transitorias o la presencia de estados estacionarios). Más aún, la caracterización estadística de las trayectorias puede desvelar descripciones cuantitativas, ya que esta permite calcular promedios y distribuciones de probabilidad para los observables de interés. El primer objetivo de esta tesis es el de revisar los principales métodos numéricos para generar trayectorias estocásticas, comparando sus ventajas y principales características. Posteriormente, estos métodos serán usados para responder dos preguntas en el contexto de la epidemiología: ¿Cuál es el efecto de la estructura de movilidad urbana en el esparcimiento de una enfermedad contagiosa? Y ¿Cuál es el mecanismo detrás de la persistencia epidémica globalmente observada en los datos del COVID-19? Finalmente, abordaremos el problema de la generación de trayectorias raras, que son inaccesibles para los algoritmos estándar en tiempos de computación aceptables. En esta dirección, presentamos un nuevo método para obtener dichas trayectorias raras que llamamos el ``backtracking method''. La inspección de trayectorias será recurrentemente acompañada de técnicas propias de la teoría de procesos estocásticos, que presentaremos de forma autocontenida, como el cálculo de tiempos de supervivencia haciendo uso de las ecuaciones de Kolmogorov ''backward"o los métodos de Wentzel-Kramers-Brillouin.
- català
La generació de trajectòries estocàstiques és una de les tècniques predilectes per a l'estudi de sistemes complexos. Per a començar, l'anàlisi de les trajectòries brinda informació rellevant a simple vista (per exemple, sobre les escales característiques, la grandària de les fluctuacions, la durada de fases transitòries o la presència d'estats estacionaris). Més encara, la caracterització estadística de les trajectòries pot revelar descripcions quantitatives, ja que aquesta permet calcular mitjanes i distribucions de probabilitat per als observables d'interès. El primer objectiu d'aquesta tesi és el de revisar els principals mètodes numèrics per a generar trajectòries estocàstiques, comparant els seus avantatges i principals característiques. Posteriorment, aquests mètodes seran utilitzats per a respondre dues preguntes en el context de l'epidemiologia: Quin és l'efecte de l'estructura de mobilitat urbana en l'esplai d'una malaltia contagiosa? I quin és el mecanisme darrere de la persistència epidèmica globalment observada en les dades de la COVID-19? Finalment, abordarem el problema de la generació de trajectòries rares, que són inaccessibles per als algorismes estàndard en temps de computació acceptables. En aquesta direcció, presentem un nou mètode per a obtenir aquestes trajectòries rares que anomenem el ''backtracking method''. La inspecció de trajectòries serà recurrentment acompanyada de tècniques pròpies de la teoria de processos estocàstics, que presentarem de forma autocontinguda, com el càlcul de temps de supervivència fent ús de les equacions de Kolmogorov ''backward" o els mètodes de Wentzel-Kramers-Brillouin.
- English
The generation of stochastic trajectories is one of the preferred tools to study complex systems. To begin with, the analysis of trajectories gives important information at a simple glimpse (e.g. relevant scales, size of fluctuations, the duration of transient regimes, or the presence of stationary states). Furthermore, the statistical characterization of trajectories unveils quantitative descriptions for the processes, since it allows computing averages and probability distributions for observables of interest. This thesis first focuses on reviewing the principal methods to generate stochastic trajectories, comparing their strengths and key features. Then, these methods are used to address two questions in the context of epidemiology: What is the effect of the mobility structure of cities in the spreading of infectious diseases? And what is the mechanism behind the long epidemic survival times widely observed in COVID-19 data? Finally, we will enter the problem of the generation of rare trajectories, which are inaccessible for standard algorithms in feasible times. We present a new method to sample such rare trajectories coined the ``backtracking method''. The inspection of stochastic trajectories will be recurrently complemented with standard techniques from the theory of stochastic process, which are also presented in a self-contained manner, such as the computation of absorption times with the backward Kolmogorov equations or the Wentzel-Kramers-Brillouin method.
