Resumen de Modelos de celda y del continuo generalizado para el análisis del comportamiento dinámico de sólidos estructurados
La presente tesis doctoral está centrada en el análisis del comportamiento dinámico de sólidos estructurados elásticos mediante modelos de celda y modelos del Continuo Generalizado. El denominador común de la formulación de estos dos modelos es la consideración de efectos de escala.
En la primera parte de la tesis se analiza, mediante un modelo de celda, el comportamiento dinámico de un sólido estructurado (lattice) compuesto por una placa de Kirchhoff sobre la que se sitúa perpendicularmente una distribución periódica de vigas de Euler-Bernoulli. Se consideran tres configuraciones: cuadrada, triangular y hexagonal. Se identifican las correspondientes celdas unitarias irreducibles y se resuelve el problema de la propagación de ondas mediante un modelo de Elementos Finitos desarrollado al efecto. Con ayuda del teorema de Bloch se obtienen las relaciones de dispersión y, a partir de ellas, las velocidades de fase y de grupo. Este análisis de propagación de ondas revela la capacidad del sistema de atenuar, orientar en direcciones preferentes, o incluso eliminar la propagación de ondas con determinadas características. Este comportamiento es debido a la estructura interna del sólido (vigas situadas sobre la placa siguiendo un determinado patrón) y no se puede reproducir si se analiza considerando una distribución densa de vigas. Para analizar las variables que afectan al comportamiento del sistema, se ha llevado a cabo un análisis dimensional que ha permitido identificar los tres grupos de parámetros de los que depende la respuesta del sólido estructurado. El conocimiento de estos grupos adimensionales contribuye a un diseño adecuado de lattice para satisfacer los requerimientos que se pretendan cumplir en una cierta aplicación.
En la segunda parte de la tesis se analiza, mediante un modelo axiomático del Continuo Generalizado (gradiente de inercia), el comportamiento dinámico de un cable estructurado sometido a vibraciones no lineales. Se parte de un modelo discreto del cable, considerado como referencia, en el que se aprecian claramente los efectos de escala. Con el objetivo de recoger estos efectos de escala mediante modelos continuos se realiza una continualización no estándar de las ecuaciones de gobierno del sistema discreto e, independientemente, se desarrolla un modelo de gradiente de inercia específico para este problema, resultando ambos formalmente idénticos. Esto permite identificar los parámetros del modelo de gradiente de inercia a partir de propiedades del sistema discreto. La utilización de modelos continuos clásicos no es adecuada debido a que su formulación carece de parámetros de escala. Finalmente, se muestra la notable concordancia de los resultados del modelo continuo propuesto con los del discreto de referencia. Esta concordancia revela que el modelo propuesto es notablemente superior al continuo clásico para tratar este tipo de problemas donde están presentes los efectos de escala. Además, el modelo continuo supone un gran ahorro computacional frente al discreto.
A continuación se recogen, para cada una de estas partes, las siguientes conclusiones:
En relación con el estudio de la estructura placa-viga mediante modelos de celda:
Se han analizado las características dispersivas, estructura de bandas y la direccionalidad de la propagación de ondas para estructuras lattice compuestas por tres distribuciones periódicas (cuadrada, triangular y hexagonal) de vigas rígidamente unidas a una placa. Esta tipología de estructura lattice, compuesta por una placa realizando la función de substrato horizontal sobre la que se conecta una distribución de vigas, ha sido analizada anteriormente, y de manera más limitada, por Eremeyev et al. en Wave processes in nanostructures formed by nanotube arrays or nanosize crystals. El citado autor obtiene la relación de dispersión suponiendo una distribución densa de vigas, simplificando su obtención y obviando los efectos de escala presentes en el sólido. En este capítulo se ha considerado la geometría de la distribución periódica de vigas como un parámetro adicional para el análisis de propagación de ondas. Debido al elevado número de parámetros físicos que participan en el problema, se ha desarrollado un análisis dimensional que ha permitido obtener tres grupos adimensionales. Estos grupos permiten simplificar el análisis de propagación de ondas de estas estructuras y facilitar su diseño para unos requerimientos específicos de atenuación de las ondas. La periodicidad del sistema ha permitido la aplicación del teorema de Bloch para obtener las principales características de la propagación de ondas a partir del análisis de una única celda unitaria. La combinación del teorema de Bloch con un procedimiento basado en el MEF ha permitido obtener las relaciones de dispersión correspondientes a cada configuración. El análisis de estas relaciones ha permitido obtener las siguientes conclusiones:
• La estructura lattice placa-viga presenta band gaps para las tres configuraciones. Si bien las tres pueden ser apropiadas para la atenuación de ondas, la configuración hexagonal, con tres band gaps, destaca como la óptima para el aislamiento de ondas a baja frecuencia, a cambio de un mayor número de vigas por unidad de superficie.
• Los diagramas de velocidad de fase y de grupo muestran el cambio de comportamiento de isótropo a anisótropo al aumentar la frecuencia. Para valores reducidos de frecuencia del primer modo, la propagación de las ondas se produce a la misma velocidad en todas las direcciones del sólido, coincidiendo con un comportamiento característico de sólidos isótropos. En cambio, para valores elevados de la frecuencia, este comportamiento es anisótropo y las ondas se propagan según unas direcciones preferentes. También se ha mostrado la presencia de cáusticas en las tres configuraciones estudiadas. Este fenómeno aparece para algunas direcciones de propagación y está relacionado con flujos de energía focalizados.
• Los tres grupos adimensionales obtenidos a partir del análisis dimensional relacionan la densidad entre placa y viga, el tamaño de la celda frente a la longitud de la viga y la rigidez de la viga con la de la placa, respectivamente.
• Un estudio paramétrico de la influencia de los grupos adimensionales en la posición y anchura del primer band gap ha revelado un comportamiento similar para las tres configuraciones. Para el rango de valores estudiados, el grupo adimensional que relaciona la dimensión característica de la celda con la longitud de la viga es el más relevante.
• El análisis de la estructura de bandas ha indicado que los band gaps no aparecen como regla general para valores de las frecuencias naturales de las vigas verticales. Esto contrasta con los resultados de otros estudios que confirman la existencia de este efecto de forma generalizada cuando se emplean sistemas masa-muelle como resonadores.
• El análisis de las características dispersivas del lattice viga-viga, donde se utilizan vigas verticales como resonadores, ha mostrado excepciones a esta regla cuando se emplean sistemas más complejos como resonadores. Esta complejidad da lugar a una estructura de bandas condicionada por los valores que toman las frecuencias naturales de las vigas verticales. A partir de los resultados obtenidos se concluye que, para resonadores más complejos que los sistemas masa-muelle, la existencia de band gaps para valores de frecuencia iguales a las frecuencias naturales del resonador no puede ser generalizada. Las vigas verticales del lattice placa-viga y del lattice viga-viga representan mejor el comportamiento real de un resonador que los sistemas masa muelle. La dificultad de generar band gaps a las frecuencias deseadas a partir de las frecuencias naturales de resonadores más realistas acentúa la relevancia del estudio de los grupos adimensionales.
En conclusión, el análisis realizado ha permitido mostrar la existencia de band gaps en placas delgadas con una distribución periódica de vigas, es decir, se ha mostrado la capacidad de estas estructuras de atenuar la propagación de ondas para determinadas frecuencias. El estudio de los grupos adimensionales ofrece una mejor comprensión sobre la influencia de los parámetros del sistema en la estructura de bandas, a la vez que permite el diseño de este tipo de estructuras lattice para la atenuación de ondas, dada la dificultad de generar band gaps a las frecuencias propias de los resonadores internos.
En relación con el estudio del cable estructurado con un modelo del Continuo Generalizado:
Se ha analizado el comportamiento dinámico de un cable tenso estructurado sometido a vibraciones no lineales axiales y transversales. Este cable se ha representado inicialmente con un modelo discreto que pone de manifiesto el efecto de escala. Por otro lado se ha desarrollado un modelo continuo axiomático con el objetivo de obtener una herramienta para analizar los efectos de escala en cables estructurados, mostrando un reducido coste computacional en comparación al discreto. El modelo axiomático se ha formulado a partir de una densidad de energía cinética enriquecida, basada en la teoría de gradiente de inercia, y una densidad de energía potencial clásica que tiene en cuenta la no linealidad en la deformación del cable. Una continualización no estándar del problema discreto ha permitido establecer una relación entre los parámetros del modelo axiomático y los parámetros físicos del discreto. Concretamente, se ha obtenido el parámetro de escala a partir de la dimensión característica de la microestructura. Además, para un valor nulo de este parámetro en el modelo axiomático, es posible recuperar el modelo continuo clásico no lineal de un cable en el que no se consideran efectos de escala.
La solución de las ecuaciones de gobierno de los diferentes modelos ha sido obtenida para condiciones iniciales y de contorno generales. La solución de las ecuaciones del modelo discreto se ha obtenido numéricamente utilizando el algoritmo de Verlet. Las soluciones de las ecuaciones del continuo axiomático y clásico se han obtenido a partir del Método de Galerkin. Estas soluciones, particularizadas para unas condiciones iniciales y de contorno determinadas, han permitido la comparación de resultados entre los modelos continuos y el modelo discreto, considerado como referencia, con el fin de validar la formulación propuesta. Esta comparación, que no es común en la literatura, ha permitido mostrar la superioridad del modelo axiomático frente al clásico para capturar el efecto de escala. Las principales conclusiones se resumen a continuación.
• La validez de los modelos continuo clásico y axiomático para reproducir el comportamiento dinámico del cable estructurado muestra amplias diferencias. Se ha mostrado que la validez del modelo continuo clásico está limitada a números de onda reducidos. Solo para estos valores de número de onda, el modelo clásico permite reproducir los resultados del modelo discreto. Sin embargo, el modelo continuo axiomático permite obtener resultados equivalentes a los del modelo discreto para números de onda más elevados, correspondiendo a longitudes de onda del orden de la dimensión característica de la microestructura, donde el efecto de escala comienza a ser significativo. Para números de onda más elevados el efecto de escala es muy relevante y el nivel de concordancia de los resultados del modelo axiomático con los del discreto es menor. Sin embargo, el modelo axiomático ofrece una aproximación notablemente mejor a los resultados del discreto que el modelo clásico. En resumen, los resultados obtenidos con el modelo continuo axiomático tienen un nivel de concordancia mucho mayor con los del discreto en comparación con los del modelo continuo clásico, especialmente cuando el efecto de escala es relevante.
• El efecto del comportamiento no lineal del cable depende del valor de la amplitud inicial. Para valores reducidos de esta amplitud, el efecto de la no linealidad en el cable es reducida. La frecuencia está escasamente afectada por la amplitud inicial, que es una característica propia en el régimen lineal. Sin embargo, para valores elevados de la amplitud inicial se muestra un marcado carácter no lineal en el comportamiento del cable. La frecuencia temporal depende del valor de amplitud inicial y aumenta con valores crecientes de la amplitud.
• El método perturbativo ofrece ecuaciones cerradas para la función temporal del desplazamiento y la correspondiente frecuencia, obteniéndose una aproximación equivalente a la solución analítica. Por tanto, la solución perturbativa es una opción sencilla y precisa de la evolución temporal del cable tenso estructurado.
El desarrollo de un modelo continuo para el análisis del comportamiento de un cable tenso estructurado responde a la necesidad de disponer de herramientas que permitan comprender el régimen no lineal de estructuras con efecto de escala, como en el caso de las nano-estructuras. Estas se someten a vibraciones que pueden presentar longitudes de onda del orden de la dimensión característica de la microestructura.
