Finitely generated non-cocompact NEC groups

• Autores: Alejandro José Monerri Molina
• Directores de la Tesis: Francisco Javier Cirre (dir. tes.), Emilio Bujalance García (dir. tes.)
• Lectura: En la UNED. Universidad Nacional de Educación a Distancia ( España ) en 2021
• Idioma: español
• Tribunal Calificador de la Tesis: José Javier Etayo Gordejuela (presid.), Ernesto Martínez García (secret.), Raquel Díaz Sánchez (voc.)
• Programa de doctorado: Programa de Doctorado en Ciencias por la Universidad Nacional de Educación a Distancia
• Materias:
  • Matemáticas
    • Geometría
    • Topología
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en:  TESEO  e-spacio (pdf) 
• Resumen
  • español

    Esta tesis está dedicada al estudio de grupos discretos de isom et rías r del plano hiperb ólico H incluyendo transformaciones que revierten la orientación (reflex iones y reflex iones con des plazamiento) y elementos de contorno (parabólicos e hiperbólicos), de forma que el espacio de órbitas H/r es no compact o.

    Dos casos específicos relacionados con los grupos NE C no cocompact os finit ima nte generados, los subgrupos de isomet rías que preservan la orientación o grupos fuchsiano s, y los grupos NEC cocompactos han sido ampliamente estudiados en la bibliografía. Este trabajo cubre una laguna que ha exist ido en la literat ura por cierto tiempo int roduciendo de forma razonablemente com pleta los grupos NEC finitamente generados no cocompact os. Se proporciona con demostración la presentación en forma de generadores y relaciones de estos grupos, introduciendo su signat ura y usá ndola para estudiar sus espacios de órbitas y las condiciones necesarias y suficientes de isomorfía entre grupos NE C.

    Se int roduce además un conjunto de invaria ntes que clasifica las superficies de Klein no compacta s salvo homeomorfismos a partir de la signatura del grupo NEC de la que es espacio de órbitas. Obt enemos la característica de Euler del espacio de órbitas y se usa para deducir la signatura del subgru po fuchsiano canónico de un grupo NEC dada su signat ura. Finalmente, se int roduce el concept o de grupo NEC elemental y se obtiene la present ación de todos los grupos NEC element ales. Se presentan result ados relacionados con los conjuntos límite de los grupos NEC y se aplican para su clasificación en primer y segundo tipo de forma similar a como se hace con los grupos fuchsianos. Para ello se usan las propiedades del subgrupo fuchsiano canónico del grupo NE C dado.

  • English

    This thesis is devoted to the study of finitely generated discrete subgroups r of the whole group of isometries of the hyperbolic plane H including those which reverse the orientation (reflections and glide reflections) as well as boundary transformations (parabolic and boundary hyperbolic elements), such that the orbit space H/r is not compact.

    Two specia l cases closely related to finitely generated non-cocompact NEC groups, the finitely generated discrete subgroups of orientation-preserving isomet ries (fuchsian groups) and the cocompact NEC groups have been extensively studied in the literature. This work presents a fairly complete introduction of the non-cocompact NEC groups, providing with proof their presentation, int roducing their signa tures and using them for st udying their orbit spaces and the necessary and sufficient conditions of isomorphism between these groups.

    We present additionally a set of inva ria nts that classify the non-compact Klein surfaces up to homeomorphisms using the signature of the NEC group of which the Klein surface is the orbit space. The Euler characteristic of the orbit space of an NEC group is calculated. Using this we obtain the signa ture of the non-cocompact canonical fuchsian group linked to the sign at ure of a given NEC group. Finally, the concept of elementary NEC groups is int roduced and all the possible elementary groups deduced. Using the properties of their canonical fuchsian groups, sorne result s describing the limit sets of NEC groups are obtained. That leads us to int roduce a classification of NEC groups of first and second kind similarly as for fuchsian groups.

    Keywords: Hyperbolic Plane, Non-euclidean Chryst allogra phic Gro ups, Finitely generated Groups of Hyperbo lic Isometries, Non -cocompact NEC Groups