Patterns in Partial Differential Equations Arising from Fluid Mechanics
- Autores: Claudia García López
- Directores de la Tesis: Taoufik Hmidi (dir. tes.), Juan Soler Vizcaíno (dir. tes.)
- Lectura: En la Universidad de Granada ( España ) en 2020
- Idioma: inglés
- ISBN: 9788413066615
- Número de páginas: 352
- Tribunal Calificador de la Tesis: Joan Verdera (presid.), Juan Calvo Yagüe (secret.), Christophe Cheverry (voc.), Isabelle Gallagher (voc.), Diego Córdoba Gazolaz (voc.)
- Programa de doctorado: Programa de Doctorado en Física y Matemáticas por la Universidad de Castilla-La Mancha y la Universidad de Granada
- Materias:
- Enlaces
- Tesis en acceso abierto en: DIGIBUG
- Resumen
- español
Esta tesis se centra en la existencia de soluciones periódicas en tiempo de modelos hamiltonianos que surgen en Mecánica de Fluidos. En la primera parte, exploraremos en el plano soluciones con movimiento rígido (rotaciones puras o translaciones) con distribución uniforme o no uniforme para modelos como las ecuaciones de Euler incompresibles o el modelo quasi–geostrofico generalizado. En la segunda parte, nos centraremos en un estudio similar para el sistema quasi–geostrofico tridimensional. El estudio de este modelo muestra una gran riqueza comparado con los modelos bidimensionales, esto es debido al conjunto de soluciones estacionarias y también a la gran diversidad de problemas espectrales asociados. En la ultima parte, mostramos varios trabajos en desarrollo de esta tesis junto con algunas conclusiones y perspectivas. A continuación, explicaremos brevemente los contenidos de la tesis. • En el primer capitulo presentamos el estado del arte acerca de los principales temas tratados en esta tesis y otros temas relacionados. Esta dividido en dos secciones: las Ecuaciones de Euler bidimensionales y el sistema quasi–geostrofico tridimensional. • El capítulo 2 esta enfocado al trabajo [67], el cual es una colaboración con mis supervisores de tesis T. HMIDI y J. SOLER. Este trabajo esta actualmente aceptado para publicacion en Archive for Rational Mechanics and Analysis. En este capitulo, nos centramos en la existencia de soluciones no uniformes, con soporte compacto en dominios acotados, que rotan en las Ecuaciones de Euler bidimensionales. La principal idea es la bifurcación desde soluciones radiales (las cuales son estacionarias). El sistema esta compuesto de dos ecuaciones acopladas no lineales para la forma del soporte y para la densidad dentro de el. Analizaremos profundamente el diagrama de bifurcación alrededor de perfiles cuadráticos, esto es (A|x| 2 + B)1D, usando el teorema de Crandall–Rabinowitz y propiedades refinadas de funciones hipergeométricas. • El tercer capitulo se centra en el trabajo [65], el cual esta publicado en Nonlinearity. Este capítulo propone un modelo para el fenómeno conocido como Karm´ an Vortex Street que aparece en ecuaciones de transporte no lineales. Los primeros intentos teóricos para entender este modelo fueron los de VON KARM ´ AN´ [89, 90] mediante un sistema de puntos de vorticidad. El autor considero dos calles paralelas de masa de Dirac, con fuerza opuesta, que se trasladan a velocidad constante. Siguiendo las simulaciones numéricas de SAFFMAN y SCHATZMAN [134], proponemos estudiar este fenómeno de una forma mas realística considerando dos calles infinitas de parches de vorticidad (vortex patches). Mediante la desingularizacion del modelo de puntos de vorticidad propuesto por ´ VON KARM ´ AN´ , somos capaces de demostrar rigurosamente las simulaciones numéricas propuestas por SAFFMAN y SCHATZMAN. • El capítulo 4 incluye el trabajo [66], el cual es una colaboración con mi supervisor de tesis T. HMIDI y con J. MATEU; esta actualmente sometido a publicación. Se centra en el estudio de soluciones periódicas para el modelo tridimensional quasi–geostofico sin viscosidad. Mostramos la existencia de parches que rotan, los cuales son una perturbación de parches estacionarios que son superficies de revolución alrededor del eje vertical. La construcción de estas soluciones especiales se consigue mediante teoría de bifurcación. En general, el problema espectral es muy delicado y depende fuertemente de la solución estacionaria inicial. Restringiéndonos a una clase de superficies de revolución y explotando la forma particular de nuestro modelo, somos capaces de implementar la bifurcación a partir del autovalor más grande de una familia de operadores tipo Fredholm en una dimensión. • El capitulo 5 explica algunos trabajos en proceso de esta tesis. Algunas conclusiones y perspectivas de trabajo son también dadas a final de este capıtulo. • Finalmente, en los apéndices A, B y C damos algunos resultados necesarios sobre teoría de bifurcación, teoría del potencial y funciones especiales.
- English
This dissertation is centered around the existence of time–periodic solutions for Hamiltonian models that arise from Fluid Mechanics. In the first part, we explore relative equilibria taking the form of rigid motion (pure rotations or translations) in the plane with uniform and non uniform distributions for standard models like the incompressible Euler equations or the generalized quasi–geostrophic equation. In the second part, we focus on a similar study for the 3D quasi–geostrophic system. The study of this model shows a remarkable diversity compared to the 2D models due to the existence of a large set of stationary solutions or the variety of the associated spectral problems. In the last part, we show some works in progress of this dissertation, and also some conclusions and perspectives. In what follows, we briefly explain the contents of this thesis and the works contained in it. • Chapter 1 deals with a general introduction to the above mentioned models, the contribution of this dissertation and related literature. It is divided in two sections: two– dimensional Euler equations and three–dimensional quasi–geostrophic system. • Chapter 2 is devoted to the work [67], which is a collaboration with my thesis advisors T. HMIDI and J. SOLER. This work is currently accepted for publication in Archive for Rational Mechanics and Analysis. There, we focus on the existence of non uniform rotating solutions for the 2D Euler equations, which are compactly supported in bounded domains. The main idea is the bifurcation from stationary radial solutions. The system reduces to two coupled nonlinear equations for the shape of the support and the density inside it. We will deeply analyze the bifurcation diagram around a quadratic profile, i.e. (A|x| 2 + B)1D, by using Crandall–Rabinowitz theorem and also refined properties of hypergeometric functions. • Chapter 3 refers to the work [65], which is published in Nonlinearity. This chapter aims to provide a robust model for the well–known phenomenon of Karm´ an Vortex Street arising ´ in nonlinear transport equations. The first theoretical attempt to model this pattern was given by VON KARM ´ AN´ [89, 90] using a system of point vortices. The author considered two parallel staggered rows of Dirac masses, with opposite strength, that translate at the same speed. Following the numerical simulations of SAFFMAN and SCHATZMAN [134], we propose to study this phenomenon in a more realistic way using two infinite arrows of vortex patches. Hence, by desingularizating the system of point vortices, we are able to rigorously prove these numerical observations • Chapter 4 is the content of [66], which is a collaboration with my thesis advisor T. HMIDI and with J. MATEU, and is currently submitted for publication. It aims to study time periodic solutions for the 3D inviscid quasi–geostrophic model. We show the existence of non trivial rotating patches by suitable perturbation of stationary solutions given by generic revolution shapes around the vertical axis. The construction of those special solutions is achieved through bifurcation theory. In general, the spectral problem is very delicate and strongly depends on the shape of the initial stationary solutions. Restricting ourselves to a particular class of revolution shapes and exploiting the particular structure of our model, we are able to implement the bifurcation at the largest eigenvalue of a family of 1D Fredholm type operators. • Chapter 5 is devoted to explain some works in progress of this dissertation. Some conclusions of the above mentioned works together with some new perspective and future works are also given at the end of this chapter. • Finally, Appendices A, B and C collect some necessary results about bifurcation theory, potential theory and special functions.
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