Resumen de Aplicació de la teoria del càlcul de variacions per a la resolució de problemes químics
Cualquier sistema químico queda microscópicamente determinado por su energía, que depende de las posiciones de los núcleos de sus átomos. De aquí surge el modelo geométrico en el que a cada sistema molecular (sistema compuesto por un número determinado de moléculas) se le asocia una superficie multidimensional conocida con el nombre de Superficie de Energía Potencial (SEP). Teniendo presente este modelo de SEP, la evolución de todo sistema químico molecular viene entonces descrito por una curva localizada en esta hipersuperficie, la cual conecta dos puntos de la misma, que corresponderían al estado inicial (reactivos) y final (productos), a través de un punto de silla de primer orden (estado de transición). Dicha curva es denominada Coordenada de Reacción Intrínseca (IRC), y es comúnmente aceptada como la curva que describe el Camino de Reacción. La información obtenida del modelo de Camino de Reacción es principalmente la variación de la geometría molecular durante cualquier ytansformación química, así como la estructura del llamado estado de transición, el cual, mediante los modelos adecuados, proporciona datos como la velocidad de la reacción, entre otros. Esto es de crucial importancia, y obviamente extensible a sistemas moleculares biológicos, donde la función metabólica de las diferentes moléculas viene dada por su forma geométrica.
A fin de determinar la curva tipo IRC de una reacción química cualquiera de una manera más exacta y económica desde el punto de vista computacional, se han desarrollado una serie de conceptos matemáticos dentro de la teoría del cálculo de variaciones y se ha formulado un nuevo modelo el cual ha sido aplicado al estudio de sistemas químicos. Entre dichos conceptos el más destacable es el de la función de exceso o error de Weierstrass, sobre el cual se ha formulado un nuevo algoritmo para obtener dicho tipo de curvas. Este nuevo algoritmo ha sido implementado con éxito en el conocido paquete de cálculo de estructura electrónica GAMESS. También se ha modificado un método de integración numérica para calcular con más precisión y a un coste computacional menor las curvas de tipo IRC, el llamado método de Runge-Kutta-Fehlberg de orden 5-6, el cual ha sido implementado en el mismo paquete de cálculo. Asimismo se ha reformulado la base matemática del modelo que describe la curva IRC, según la cual se puede analizar la evolución geométrica del sistema observando solamente la evolución energética, lo que implica que toda curva de tipo IRC que describe cualquier Camino de Reacción se puede parametrizar tomando como parámetro la energía potencial, en lugar de los parámetros comúnmente utilizados tales como longitud de arco. Se demuestra así que la energía es un parámetro intrínseco del sistema y se puede tratar como una coordenada más que describe la evolución de éste.
Por otra parte es bien conocido que para obtener una descripción correcta de la evolución de los sietmas microscópicos es necesario recurrir a la mecánica cuántica, las bases de la cual pueden derivarse a su vez del cálculo de variaciones. Dentro de la mecánica cuántica, la visión bohmiana (propuesta por Madelung, de Broglie y Bohm) provee de ecuaciones particularmente útiles a la hora de analizar fenómenos típicamente microscópicos. No se encuentran en la literatura muchos análisis de dichas ecuaciones (en comparación con la visión de Copenhaguen), es por eso por lo que en la presente investigación se han realizado estudios exhaustivos de dichas ecuaciones, llegando a identificar la magnitud responsable del llamado efecto túnel, un fenómeno típicamente cuántico. Dicha magnitud está íntimamente relacionada con el llamado potencial total (suma del potencial clásico más el potencial cuántico, según dicho modelo), de manera que se ha demostrado que permite el tratamiento de los sistemas microscópicos con leyes muy parecidas a las de los sistemas microscópicos, con las convenientes modificaciones que les otorgan sus particulares propiedades. A tal efecto se ha desarrollado un algoritmo basado en la expansión de onda mediante una representación dicreta de variables (DVR), que permite el estudio de la evolución temporal de sistemas miscroscópicos, junto con las magnitudes definidas por la mecánica bohmiana, con un bajo coste de computación.
