Resumen de Kk-teoría algebraica equivariante y conjeturas de isomorfismo
La $kk$-teoría algebraica fue introducida por G. Cortiñas y A. Thom en \cite{kn:bak}. Esta teoría es una $K$-teoría bivariante en la categoría de $\ell$-álgebras siendo $\ell$ un anillo conmutativo con unidad.
Para cada par de álgebras $(A,B)$ se define un grupo $\kk(A,B)$.
Se obtiene una categoría $\KK$ cuyos objetos son las álgebras y cuyos morfismos son los elementos de $\kk(A,B)$. La categoría $\KK$ es una categoría triangulada y existe un funtor canónico $j:\operatorname{Alg}_{\ell}\rightarrow \KK$ con ciertas propiedades universales. Estas propiedades son la de invarianza homotópica polinomial, invarianza por matrices y la propiedad de escisión. La definición de la $kk$-teoría algebraica fue motivada por los trabajos de J. Cuntz \cite{ckk} y N. Higson \cite{hkk} sobre las propiedades universales de la $KK$-teoría de $C^{*}$-álgebras definida por Kasparov en \cite{kkk}.
En esta tesis se continua la línea de trabajo de \cite{kn:bak} verficando que la $kk$-teor\'\i a algebraica admite una versi\'on equivariante.
Sean $\ell$ un anillo conmutativo con unidad, $\G$ un grupo numerable y $\mathcal{H}$ un álgebra de Hopf sobre un cuerpo. En el cap\'\i tulo 1 definimos una $k$-teoría bivariante para la categoría de $\G$-álgebras, álgebras $\G$-graduadas, $\mathcal{H}$-módulo álgebras y $\mathcal{H}$-comódulo álgebras.
Denotamos por $\mathcal{X}$-$\alg$ a cualquiera de estas categor\'\i as. Se introduce el concepto de $\X$-estabilidad que consiste en una noción equivariante de invarianza matricial. Posteriormente se establecen las propiedades universales que verifica el funtor canónico $j:\X$-$\alg \rightarrow \KK^{\X}$: invarianza por homotopías polinómicas, $\X$-estabilidad y la propiedad de escisión.
En el capítulo 2 se estudian los teoremas de adjunción en la $kk$-teoría algebraica equivariante. Este estudio nos permite seguir completando el diccionario iniciado en \cite{kn:bak} entre la $kk$-teoría algebraica y la $KK$-teoría de Kasparov.
Si $\G$ es un grupo numerable, se definen funtores que extienden el producto cruzado por $\G$ y la acción trivial $$ \rtimes \G: \KK^{\G} \rightarrow \KK \qquad \qquad \tau: \KK \rightarrow \KK^{\G}.
$$ El primer resultado de adjunción es una versión algebraica del {\sc{Teorema de Green-Julg}} y nos permite relacionar los $\kk^{\G}$-grupos con los KH-grupos de la K-teoría homotópica de C. Weibel definida en \cite{kh}. Si $\G$ es un grupo finito, $1/|\G|\in \ell$, $B$ es un \'algebra y $A$ es una $\G$-\'algebra entonces existe un isomorfismo $$ \psi_{GJ}:\kk^{\G}(B^{\tau},A)\r \kk(B,A\rtimes \G) $$ Aqu\'\i\ $B^{\tau}$ indica la $\G$-\'algebra con la acci\'on trivial de $\G$.
En particular tomando $B=\ell$, $$ \kk^{\G}(\ell, A) \simeq \operatorname{KH}(A\rtimes \G) \qquad \quad \mbox{ para toda $A\in \G$-$\alg$.} $$ Para cada subgrupo $\H$ de $\G$ se definen funtores de inducción y restricción $$ \operatorname{Ind}^{\G}_{\H}: \KK^{\G} \rightarrow \KK^{\H} \qquad \qquad \operatorname{Res}^{\H}_{\G}: \KK^{\G} \rightarrow \KK^{\H} $$ los cuales son funtores adjuntos. En otras palabras, $$ \kk^{\G}(\operatorname{Ind}^{\G}_{\H}(B),A)\simeq \kk^{\H}(B,\operatorname{Res}^{\H}_{\G}(A)) \quad \mbox{ para $A \in \G$-$\alg$ y $B\in \H$-$\alg$}.
$$ En particular si $A$ es una $\G$-álgebra, $$\kk^{\G}(\ell^{(\G)},A)\simeq \operatorname{KH}(A).$$ Aqu\'\i\ $\ell^{(\G)}=\bigoplus_{g\in \G}\ell$ con la acci\'on regular de $\G$.
Una versi\'on algebraica del {\sc Teorema de imprimitividad de Green} nos permite identificar en $\KK$ al álgebra $A\rtimes \H$ con el álgebra $\operatorname{Ind}^{\G}_{\H}A\rtimes \G$.
Tambi\'en se prueba que $\KK^{\G}$ la categor\'\i a de $\G$-algebras y $\KK^{\hat{\G}}$ la categoría de \'algebras $\G$-graduadas son equivalentes.
Esta equivalencia está dada por los funtores $$ \rtimes \G: \KK^{\G}\rightarrow \KK^{\hat{\G}} \qquad \quad \hat{\G}\rtimes: \KK^{\hat{\G}}\rightarrow \KK^{\G}.
$$ inducidos por los productos cruzados.
Es el análogo algebraico a la {\sc dualidad de Baaj-Skandalis}, \cite{kn:BS}.
Por último estudiamos el caso de $\KK^{\mathcal{H}}$ cuando $\mathcal{H}$ es un álgebra de Hopf de dimensión finita sobre un cuerpo. Existen funtores $$ \tau: \KK \rightarrow \KK^{\mathcal{H}} \quad \qquad \#: \KK^{\mathcal{H}}\rightarrow \KK $$ inducidos por la acción trivial y el producto {\em smash}.
Cuando $\mathcal{H}$ es un álgebra semisimple obtenemos una versión del teorema de Green-Julg en este contexto. En particular si $A$ es un $\mathcal{H}$-módulo álgebra entonces $$ \kk^{\mathcal{H}}(\ell,A)\simeq \operatorname{KH}(A\# \mathcal{H}).
$$ En el último capítulo estudiamos conjeturas de isomorfismo siguiendo la línea de trabajo de \cite{kn:DL}. Consideramos estructuras de modelo en la categoría de $\G$-conjuntos simpliciales y en la categoría de $\G$-espacios topológicos. Dichas estructuras estan definidas en funci\'on de una familia $\fam$ de subconjuntos de $\G$ y son tales que las equivalencias d\'ebiles y las fibraciones son punto a punto. Los objetos cofibrantes son aquellos $X$ tales que el estabilizador $\G_{x}$ pertenece a la familia $\fam$ para todo $x\in X$.
Al probar que el siguiente par de funtores es una equivalencia de Quillen $$ \xymatrix{ {\to}^{\G} \ar@/^0.3pc/[rr]^{\sing_{*}} & &\ar@/^0.3pc/[ll]^{||_{*}} \S^{\G}.
} $$ obtenemos que es equivalente trabajar con un modelo simplicial de espacio o con un modelo topol\'ogico.
Decimos que un funtor $\operatorname{H}:\S^{\G}\r \Sp$ de la categor\'\i a de $\G$-conjuntos simpliciales en la categor\'\i a de espectros satisface la $(\G,\fam)$-conjetura de isomorfismo, si para el reemplazo cofibrante $\pi:\cE(\G,\fam) \r *$ en la categor\'\i a de modelos mencionada anteriormente el morfismo $$ \operatorname{H}(\pi): \operatorname{H}(\cE(\G,\fam)) \r \operatorname{H}(*) $$ es una equivalencia.
Si $\E:\Z$-$\cat\r \Sp$ es un funtor y $R$ es un $\G$-anillo con unidad, podemos construir, siguiendo la l\'\i nea Davis-Luck \cite{kn:DL}, un funtor $$ H^{\G}(-,\E(R)): \S^{\G}\r \Sp $$ tal que $H^{\G}(*,\E(R))=\E(R\rtimes \G)$.
La $(\G, \cF, \E, R)$-conjetura de isomorfismo es la $(\G,\fam)$-conjetura para el funtor $H^{\G}(-,\E(R))$.
Pobamos que considerando unas condiciones m\'\i nimas sobre $\E$, las {\sc{Standing Assumptions}} \ref{stan} (condiciones que satisfacen $K$ y $\kh$, ver proposiciones \ref{prop:kstands} y \ref{prop:homostand}), $H^{\G}(-,\E(A))$ est\'a definido no s\'olo para los $\G$-anillos con unidad, si no que est\'a definido tambi\'en para todo $\G$-anillo $A$ que satisface $\E$-escisi\'on.
M\'as a\'un, probamos que si \begin{equation}\label{secring3} 0\r A'\r A \r A'' \r 0 \end{equation} es una sucesi\'on exacta de anillos $\E$-escisivos y $X$ es un $\G$-conjunto simplicial, entonces $$ H^{\G}(X,\E(A'))\r H^{\G}(X,\E(A))\r H^{\G}(X, \E(A'')) $$ es una fibraci\'on homot\'opica.
Esta es una propiedad necesaria para establecer un an\'alogo algebraico al m\'edodo dual-Dirac que es un m\'etodo usado en la prueba de la conjetura de Baum-Connes para algunos grupos.
Otra propiedad b\'asica que nos proporciona sucesiones \eqref{secring3} en las cuales al menos uno de los anillos satisface la conjetura de isomorfismos, es el teorema \ref{thm:proper0}. En \'este se muestra que si $\E$ satisface las standing assumptions y $A$ es un anillo $\E$-escisivo de la forma \begin{equation}\label{asumo3} A=\bigoplus_{i}\ind^{\G}_{\GK_{i}} B_{i} \end{equation} en donde $B_{i}$ es un $\GK_{i}$-anillo y $\GK_{i}\in \fam$ para todo $i$, entonces el funtor $H^{\G}(-,\E(A))$ lleva $(\G,\cF)$-equivalencias en equivalencias. En particular la $(\G,\cF,\E, A)$-conjetura de isomorfismo se satisface.
Usamos este hecho en la secci\'on \ref{sec:dirac} para mostrar que bajo otros supuestos adicionales \ref{secass} (los cuales siguen siendo verificados por $\E=K$ y $\kh$), para cada $\G$-anillo $\E$-escisivo $A$ existe de manera funtorial una sucesi\'on de $\G$-anillos $\E$-escisivos \[ \fF^0B\r \fF^\infty B\r \fF^\infty B/\fF^0B \] y un morfismo natural $A\r \fF^0B$ tal que \begin{itemize} \item[i)] $H^{\G}(X,\E(A))\r H^{\G}(X,\E(\fF^0B))$ es una equivalencia para todo $\G$-conjunto simplicial $X$.
\item[ii)] $H^{\G}(X,\E(\fF^\infty B))\r *$ es una equivalencia si $X$ es $(\G,\cF)$-cofibrante.
\item[iii)] $H^{\G}(-,\E(\fF^\infty B/\fF^0B))$ lleva $(\G,\cF)$-equivalencias en equivalencias.
\end{itemize} A partir de esta sucesi\'on obtenemos que $$ H^{\G}(\cE(\G,\cF), \E(A))\r \E(A\rtimes \G) $$ es una equivalencia si y s\'olo si el morfismo de conexi\'on $$ \Omega (\E(\fF^\infty B/\fF^0B\rtimes\G))\r \E(A\rtimes \G) $$ es una equivalencia. En particular lo anterior se aplica cuando $\E=K,\kh$.
En el teorema \ref{thm:properp} probamos que bajo hip\'otesis m\'as fuertes en $\E$, la cual la m\'as importante es que $\E$ satisface escisi\'on (e.g. $\kh$ satisface pero $K$ no), entonces la $(\G,\cF,\E,A)$-conjetura de isomorfismo es verdad para cuando $A$ es un anillo $(\G,\cF)$-propio.
Si $X$ es un conjunto simplicial localmente finito con una acci\'on de $\G$ entonces el $\G$-anillo $A$ es propio sobre $X$ si este es un \'algebra sobre el anillo $\Z^{(X)}$ de funciones polinomiales finitamente soportadas en $X$, la acci\'on es compatible con la acci\'on de $\G$ en $A$ y en $X$ y $\Z^{(X)}\cdot A = A$.
Decimos que $A$ es $(\G,\cF)$-propio si es propio sobre alg\'un conjunto simplicial $X$ localmente finito en el cual $\G$ act\'ua de manera que los estabilizadores pertenecen a la familia $\fam$.
Por ejemplo un \'algebra es de la forma \eqref{asumo3} si y solamente si es propia sobre alg\'un $\G$-conjunto simplicial cero dimensional de la forma $X=\coprod \G/\GK_{i}$.
La noci\'on de anillo $(\G,\cF)$-propio usada aqu\'\i\ es la noci\'on algebraica de la $\G$-$C^{*}$-algebra propia, y el teorema \ref{thm:properp} es una versi\'on algebraica del conocido hecho de que la conjetura de Baum-Connes es cierta para las $\G$-$C^{*}$-algebras \cite{kn:ET}.
