Approximation des équations intégrales de Fredholm par des quasi-interpolants splines et application à l’équation de Love
- Autores: Fadila El Mokhtari
- Directores de la Tesis: Domingo Barrera Rosillo (codir. tes.), Driss Sbibih (codir. tes.)
- Lectura: En la Universidad de Granada ( España ) en 2019
- Idioma: francés
- Tribunal Calificador de la Tesis: Chérif Ziti (presid.), María José Ibáñez Pérez (secret.), Mohammed Tahrichi (voc.), Domingo Barrera Rosillo (voc.), Driss Sbibih (voc.), Pedro González Rodelas (voc.)
- Programa de doctorado: Programa de Doctorado en Física y Matemáticas por la Universidad de Castilla-La Mancha y la Universidad de Granada
- Materias:
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- Resumen
Las ecuaciones integrales, aquéllas en las que la función incógnita aparece bajo el signo integral, están estrechamente ligadas a variados problemas que pueden ser expresados tanto en términos de ecuaciones diferenciales ordinarias o directamente, integrales.
Este tipo de ecuaciones presenta un gran interés per se y por sus aplicaciones en diferentes campos de la Matemática Aplicada, la Física, la Biología y la Ingeniería.
Por otra parte, con el desarrollo de las capacidades de cálculo de los actuales equipos informáticos, los métodos de resolución numérica de ecuaciones integrales juegan un papel muy importante, pudiéndose resolver problemas que no lo eran en un pasado reciente.
Un caso particular de ecuación integral bien conocido, y que será el objetivo principal de esta tesis, es el de la ecuación de Love, estudiada por primera vez por E. R. Love (1912-2001) en 1949 [1], que surge en relación con el problema consistente en determinar la capacidad de un condensador de placas circulares.
Otro objetivo de esta tesis es resolver numéricamente ecuaciones integrales lineales y no lineales de Fredholm. Los métodos más utilizados para ello son los de núcleo degenerado, los métodos de cuadratura y los métodos de proyección.
Los métodos de núcleo degenerado son los más simples de implementar. Se basan en la aproximación del núcleo de la ecuación integral mediante algún procedimiento, como puede ser la interpolación. Los métodos de cuadratura consisten en aproximar el operador integral mediante una suma finita y buscar la solución aproximándola en un número finito de puntos, lo que conduce sistemáticamente a la resolución de un sistema de ecuaciones algebraicas. En lo que respecta a los métodos de proyección, la estrategia consiste en proyectar la ecuación integral sobre un subespacio funcional de dimensión finita, aproximando la solución exacta mediante una combinación lineal de los elementos de una de sus bases y trabajando con el residuo de la aproximación.
Los resultados presentados en esta tesis tienen por objetivo desarrollar algunos métodos ya indicados en combinación con quasi-interpolación spline sobre particiones uniformes y no uniformes y, por otra parte, proponer y analizar nuevos métodos basados en el uso de quasi-interpolación bivariada para mejorar el orden de convergencia de los métodos. La quasi-interpolación juega un papel muy importante dado que proporcionan aproximaciones casi óptimas, siendo pequeña la norma infinito del operador.
[1] R. Love. The electrostatic field of two equal circular co-axial conducting disks, The ƒQuarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics 2(4) (1949) 428–451.
Esta memoria está formada por cinco capítulos.
Capítulo 1. Preliminares El capítulo está consagrado a presentar los resultados necesarios que se aplicarán en los capítulos siguientes. En primer lugar, se presentan los principales sobre ecuaciones integrales, comenzando por una clasificación de este tipo de ecuaciones, y dando algunos resultados teóricos clásicos sobre ecuaciones de Fredholm lineales y no lineales [1-6]. A continuación, se pone el acento en la ecuación de Love, presentando su utilidad en el cálculo de la capacidad de un condensador formado por dos placas circulares. Finalmente, se dan algunos resultados sobre espacios de funciones spline en una variable y sus bases de B-splines y también sobre la construcción de quasi-interpolantes spline discretos sobre una subdivisión, en general no uniforme, de un intervalo acotado. Estos quasi-interpolantes son la base para la resolución numérica de las ecuaciones integrales de Fredholm, en particular la de Love.
[1] K. Atkinson, W. Han. Theoretical numerical analysis. Springer, 2005.
[2] K. Atkinsons. The numerical solution of integral equations of the second kind. Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, Cambridge University Press, Cambridge, 1997 [3] C. Groetsch. The theory of tikhonov regularization for Fredholm equations. Boston Pitman Publication, 1984.
[4] H. Hochstadt. Integral equations. John Wiley & Sons, 2011.
[5] R. P. Kanwal. Linear integral equations. Springer Science & Business Media, 2013.
[6] R. Kress, V. Maz’ya, V. Kozlov. Linear integral equations. Springer, 1989.
[7] E. Love. The potential due to a circular parallel plate condenser, Mathematika 37(2) (1990) 217–23.
[8] R. Love. The electrostatic field of two equal circular co-axial conducting disks, The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics 2(4) (1949) 428–451.
[9] J. W. Nicholson. XI. the electrification of two parallel circular discs, Philosophical, Transactions of the Royal Society of London, Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character 224(616-625) (1924) 303–369.
[10] A. Abbadi, M. J. Ibáñez, D. Sbibih. Computing quasi-interpolants from the B-form of B splines, Mathematics and Computers in Simulation 81(10) :1936–1948, 2011.
[11] C. Allouch, P. Sablonnière. Iteration methods for fredholm integral equations of the second kind based on spline quasi-interpolants, Mathematics and Computers in Simulation 99(19–27) 2014.
[12] D. Barrera, A. Guessab, M. J. Ibáñez, O. Nouisser. Increasing the approximation order of spline quasi-interpolants, Journal of Computational and Applied Mathematics 252 (2013) 27–39.
[13] G. A. Chandler. Superconvergence of numerical solutions to second kind integral equations, Bull. Austral. Math. Soc. 21 (1980) 475-476.
[14] H. B. Curry, I. J. Schoenberg. On Pólya frequency functions IV: The fundamental spline functions and their limits, Journal d’Analyse Mathématique 17(1) (1966) 71–107.
[15] C. Dagnino, V. Demichelis, E. Santi. Numerical integration based on quasi-interpolating splines, Computing 50(2) (1993) 149–163.
[16] C. Dagnino, P. Rabinowitz. Product integration of singular integrands using quasi-interpolatory splines, Computers & Mathematics with Applications 33(1-2) (1997) 59–67.
[17] C. De Boor. A practical guide to splines. Springer-Verlag, New York, 1978.
[18] V. Demichelis. ƒQuasi-interpolatory splines based on Schoenberg points, Mathematics of Computation 65(215) :1235–1247, 1996.
[19] R. A. DeVore, G. G. Lorentz. Constructive approximation. Springer Science & Business Media, 1993.
[20] M. Marsden, I. Schoenberg. On variation diminishing spline approximation methods. Technical report, Wisconsin UNiv. Madison Mathematics Research Center, 1966.
[21] M. J. Marsden. An identity for spline functions with applications to variation diminishing spline approximation. Technical report, Wisconsin UNiv. Madison Mathematics Research Center, 1968.
[22] P. Rabinowitz. Numerical integration based on approximating splines, Journal of Computational and Applied Mathematics 33(1) (1990) 73–83.
[23] P. Sablonnière. A quadrature formula associated with a univariate spline quasi interpolant, BIT Numerical Mathematics 47(4) (2007) 825–837.
[24] P. Sablonnière, D. Sbibih, M. Tahrichi. Product quasi-interpolation method for weakly singular integral equation eigenvalue problema, Mathematics and Computers in Simulation 81(10) (2011) 2337–2345.
[25] L. Schumaker. Spline functions: basic theory. Cambridge University Press, 2007.
Capítulo 2. Resolución de la ecuación de Love mediante quasi-interpolantes spline En este capítulo se describe un método de núcleo degenerado que permite aproximar la solución de la ecuación integral de Love. El método consiste en aproximar el núcleo k(x,t) de la ecuación actuando sobre la variable t (aproximación por la derecha). Para ello se consideran quasi-interpolantes spline clásicos y superconvergentes. Estos últimos tienen en ciertos puntos un orden de aproximación una unidad superior al orden de aproximación global. Se aplican quasi-interpolantes cuadrático y cúbico y, además, uno cúbico superconvergente. Este procedimiento conduce a la resolución de un sistema de ecuaciones lineales cuyos coeficientes son valores de ciertas integrales, que son calculados explícitamente en el caso cuadrático y aproximados mediante una fórmula de cuadratura numérica muy eficaz en los casos cúbico y cúbico superconvergente.
El capítulo concluye con resultados numéricos que ilustran los órdenes de convergencia teóricos, además de con una comparación con un resultado obtenido por Love [42]. Se constata que la comparación es muy satisfactoria y que el método de aproximación por la derecha da los mejores resultados.
[1] C. Allouch, P. Sablonnière, D. Sbibih. Solving Fredholm integral equations by approximating kernels by spline quasi-interpolants, Numerical Algorithms 56(3) (2011) 437–453.
[2] C. Allouch, P. Sablonnière, D. Sbibih. Collocation methods for solving multivariable integral equations of the second kind, Journal of Computational and Applied Mathematics 236(17) (2012) 4494–4512.
[3] K. Atkinson, W. Han. Theoretical numerical analysis. Springer, 2005.
[4] K. Atkinsons. The numerical solution of integral equations of the second kind. Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, Cambridge University Press, Cambridge, 1997.
[5] A. Boujraf, D. Sbibih, M. Tahrichi, A. Tijini. A superconvergent cubic spline quasi-interpolant and application, Afrika Matematika 26(7-8) (2015) 1531–1547.
[6] G. Chen, C. K. Chui, M. Lai. Construction of real-time spline quasiinterpolation schemes, Approx. Theory Appl. 4(4) (1988) 61–75.
[7] C. De Boor. A practical guide to splines. Springer-Verlag, New York, 1978.
[8] R. A. DeVore, G. G. Lorentz. Constructive approximation. Springer Science & Business Media, 1993.
[9] M. A. Fortes, M. J. Ibáñez, M. Rodríguez. On chebyshev-type integral quasi-interpolation Operators, Mathematics and Computers in Simulation 79(12) (2009) 3478–3491.
[10] F. Foucher, P. Sablonnière. Quadratic spline quasi-interpolants and collocation methods, Mathematics and Computers in Simulation 79(12) (2009) 3455–3465.
[11] G. Hämmerlin, L. L. Schumaker. Procedures for kernel approximation and solution of fredholm integral equations of the second kind, Numerische Mathematik 34(2) (1980) 125–141.
[12] R. Kress, V. Maz’ya, V. Kozlov. Linear integral equations. Springer, 1989.
[13] P. Lamberti. Numerical integration based on bivariate quadratic spline quasi-interpolants on bounded domains, BIT Numerical Mathematics 49(3) (2009) 565–588.
[14] F.-G. Lang, X.-P. Xu. On integro quartic spline interpolation, Journal of Computational and Applied Mathematics 236(17) (2012) 4214–4226.
[15] B.-G. Lee, T. Lyche, K. Mørken. Some examples of quasi-interpolants constructed from local spline projectors, Mathematical methods for curves and surfaces , Oslo, 2000, pages 243–252.
[16] E. Love. The potential due to a circular parallel plate condenser, Mathematika 37(2) (1990) 217–231.
[17] G. Mastroianni, G. V. Milovanovic. Well-conditioned matrices for numerical treatment of fredholm integral equations of the second kind, Numerical Linear Algebra with Applications 16(11-12) (2009):995–1011.
[18] P. Sablonnière. On some multivariate quadratic spline quasi-interpolants on bounded domains. International Series of Numerical Mathematics, Birkhäuser, 2003, pages 263–278.
[19] P. Sablonnière. Quadratic spline quasi-interpolants on bounded domains of Rd, d= 1, 2, 3, Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino, 61(3) (2003) 229–246.
[20] P. Sablonnière. A quadrature formula associated with a univariate spline quasi-interpolant, BIT Numerical Mathematics 47(4) (2007) 825–837.
[21] P. Sablonnière, D. Sbibih, M. Tahrichi. High-order quadrature rules based on spline quasi-interpolants and application to integral equations, Applied Numerical Mathematics 62(5) (2012) 507–520.
[22] L. Schumaker. Spline functions: basic theory. Cambridge University Press, 2007.
[23] J.Wu, X. Zhang. Integro sextic spline interpolation and its super convergence, Applied Mathematics and Computation 219(12) (2013) 6431–6436.
Capítulo 3. Resolución de la ecuación de Love con pequeño parámetro En este capítulo se trata el caso singular de la ecuación de Love, es decir, cuando el parámetro d tiende a cero.
Utilizando el hecho de que la solución u(x) tiende a 1/2 para x∊(-1,1) cuando el parámetro d tiende a cero, se ha considerado una nueva función incógnita v(x)=u(x)-1/2 y aplicado el método de integración producto basado en un quasi-interpolante spline discreto cuadrático sobre una partición no uniforme apropiada para aproximar la función v(x) y, en consecuencia, u(x).
Además, se ha probado que el método tiene orden de convergencia O(h^3) y se ha estudiado el condicionamiento de la matriz del sistema lineal asociado. El estudio teórico ha sido enriquecido con ejemplos numéricos y los resultados obtenidos se han comparado con otros existentes en la literatura.
[1] C. Allouch, P. Sablonnière, D. Sbibih, M. Tahrichi. Product integrationmethods based on discrete spline quasi-interpolants and application to weakly singular integral equations, Journal of Computational and Applied Mathematics 233(11) (2010) 2855–2866.
[2] K. Atkinson, W. Han. Theoretical numerical analysis. Springer, 2005.
[3] K. Atkinson. The numerical solution of integral equations of the second kind. Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, Cambridge University Press, Cambridge, 1997.
[4] C. Dagnino, A. P. Orsi. Product integration of piecewise continuous integrands based on cubic spline interpolation at equally spaced nodes. Numerische Mathematik 52(4) (1988) 459–466.
[5] C. Dagnino, P. Rabinowitz. Product integration of singular integrands using quasi-interpolatory splines, Computers & Mathematics with Applications, 33(1-2) (1997) 59–67.
[6] C. Dagnino, E. Santi. An algorithm for the generation of spline product rules for Cauchy singular integrals, Internal Report. Fac. Ingegneria, Univ. L’Aquila, 1988.
[7] C. Dagnino, E. Santi. On the evaluation of one-dimensional Cauchy principal value integrals by rules based on cubic spline interpolation, Computing 43(3) (1990) 267–276.
[8] C. Dagnino, E. Santi. Spline product quadrature rules for Cauchy singular integrals, Journal of Computational and Applied Mathematics 33(2) (1990) 133–140.
[9] C. Dagnino, E. Santi. On the convergence of spline product quadratures for Cauchy principal value integrals, Journal of Computational and Applied Mathematics 36(2) (1991) 181–187.
[10] F.-R. Lin, X. Lu, X.-Q. Jin. Sinc Nyström method for singularly perturbed Love’s integral equation, East Asian Journal on Applied Mathematics 3(1) (2013) 48–58.
[11] F.-R. Lin, Y.-J. Shi. Preconditioned conjugate gradient methods for the solution of Love’s integral equation with very small parameter, Journal of Computational and Applied Mathematics 327 (2018) 295–305.
[12] P. Pastore. The numerical treatment of Love’s integral equation having very small parameter, Journal of Computational and Applied Mathematics, 236(6) (2011) 1267–1281.
[13] J. L. Phillips. The use of collocation as a projection method for solving linear operator equations, SIAM Journal on Numerical Analysis 9(1) (1972) 14–28, 1972.
[14] P. Sablonnière. Quadratic spline quasi-interpolants on bounded domains of R^d,d=1,2,3, Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino 61(3) (2003) 229–246.
[15] P. Sablonnière. A quadrature formula associated with a univariate spline quasi-interpolant, BIT Numerical Mathematics 47(4) (2007) 825–837.
[16] S. Sastry. Numerical solution of non-singular Fredholm integral equations of the second kind, Indian J. Pure Appl. Math. 6(7) (1975) 773–783.
[17] G. Vainikko, A. Pedas. The properties of solutions of weakly singular integral equations, The ANZIAM Journal 22(4) (1981) 419–430.
[18] G. Vainikko, P. Uba. A piecewise polynomial approximation to the solution of an integral equation with weakly singular kernel, The ANZIAM Journal 22(4) (1981) 431–438.
Capítulo 4. Resolución numérica de ecuaciones integrales de Fredhom mediante quasi-interpolantes bivariados En este capítulo nos interesamos en la aproximación de las ecuaciones integrales lineales de Fredholm de segunda especie con núcleo suficientemente regular y término independiente continuo.
Para resolver este problema utilizamos dos métodos basados en quasi-interpolantes bivariados: el producto tensorial y la suma booleana de dos quasi-interpolantes spline univariados.
Estudiamos las estimaciones de error producidas por la aplicación de estos dos métodos. Los resultados teóricos obtenidos son ilustrados por tests numéricos. Para mostrar la eficiencia de estos métodos se comparan con otros publicados en la literatura y se aplican a la resolución de la ecuación de Love.
[1] C. Allouch, P. Sablonnière. Iteration methods for Fredholm integral equations of the second kind based on spline quasi-interpolants, Mathematics and Computers in Simulation 99 (2014) 19–27.
[2] C. Allouch, P. Sablonnière, D. Sbibih. A modified kulkarni’s method based on a discrete spline quasi-interpolant, Mathematics and Computers in Simulation 81(10) (2011) 1991–2000.
[3] C. Allouch, P. Sablonnière, D. Sbibih. Solving fredholm integral equations y approximating kernels by spline quasi-interpolants, Numerical Algorithms 56(3) (2011) 437–453.
[4] C. Allouch, P. Sablonnière, D. Sbibih, M. Tahrichi. Superconvergent Nyström and degenerate kernel methods for integral equations of the second kind, Journal of Integral Equations and Applications 24(4) (2012) 463–485.
[5] K. Atkinson, W. Han. Theoretical numerical analysis, volume 39. Springer, 2005.
[6] K. Atkinson. The numerical solution of integral equations of the second kind. Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, Cambridge University Press, Cambridge, 1997.
[7] A. M. Bica. The numerical method of successive interpolations for Fredholm functional integral equations, Numerical Algorithms 58(3) (2011) 351–377.
[8] L. Brutman. An application of the generalized alternating polynomials to the numerical solution of Fredholm integral equations, Numerical Algorithms 5(9) (1993) 437–442.
[9] C. Dagnino, S. Remogna, P. Sablonnière. On the solution of Fredholm integral equations based on spline quasi-interpolating projectors, BIT Numerical Mathematics 54(4) (2014) 979–1008.
[10] C. De Boor, K. Höllig, S. Riemenschneider. Box splines. Springer Science & Business Media, 2013.
[11] F.-J. Delvos, W. Schempp. Boolean methods in interpolation and approximation. Longman Scientific and Technical, 1989.
[12] W. Gautschi. Orthogonal polynomials: applications and computation, Acta Numerica, 5 (1996) 45–119.
[13] R. P. Kulkarni. A new superconvergent projection method for approximate solutions of eigenvalue problems, Numerical Functional Analysis and Optimization 24(1-2) (2003) 75–84.
[14] R. P. Kulkarni. A superconvergence result for solutions of compact operator equations, Bulletin of the Australian Mathematical Society 68(3) (2003) 517–528.
[15] R. P. Kulkarni. Approximate solution of multivariable integral equations of the second kind, Journal of Integral Equations and Applications 16(4) (2004) 343–374.
[16] K. Maleknejad, Y. Mahmoudi. Numerical solution of linear Fredholm integral equation by using hybrid Taylor and block-pulse functions, Applied Mathematics and Computation 149(3) (2004) 799–806.
[17] P. Sablonnière, D. Sbibih, M. Tahrichi. Product quasi-interpolation method for weakly singular integral equation eigenvalue problema, Mathematics and Computers in Simulation 81(10) (2011) 2337–2345.
Capítulo 5. Quasi-interpolantes spline no uniformes para la resolución de ecuaciones integrales de Hammerstein Este capítulo está dedicado a la resolución numérica de ecuaciones integrales de Hammerstein.
Para resolverla numéricamente se utilizan quasi-interpolantes de grado par definidos sobre subdivisiones no uniformes.
En la primera parte del capítulo se construyen fórmulas de cuadratura basadas en quasi-interpolantes spline definidos sobre particiones no uniformes y se utilizan para aproximar el operador integral asociado a la ecuación.
A continuación se construye la solución aproximada utilizando el método de Nyström y se estudia el orden de aproximación del método definido. Se finaliza mostrando resultados numéricos muy satisfactorios, comparándolos con otros métodos de la literatura.
[1] M. Abdou, M. El-Borai M. El-Kojok. Toeplitz matrix method and nonlinear integral equation of Hammerstein type, Journal of Computational and Applied Mathematics 223(2) (2009) 765–776.
[2] C. Allouch, P. Sablonnière. Iteration methods for Fredholm integral equations of the second kind based on spline quasi-interpolants, Mathematics and Computers in Simulation 99 (2014) 19–27.
[3] C. Allouch, P. Sablonnière, D. Sbibih. A modified Kulkarni’s method based on a discrete spline quasi-interpolant, Mathematics and Computers in Simulation 81(10) (2011) 1991–2000.
[4] C. Allouch, P. Sablonnière, D. Sbibih. Solving Fredholm integral equations by approximating kernels by spline quasi-interpolants, Numerical Algorithms 56(3) (2011) 437–453.
[5] C. Allouch, P. Sablonnière, D. Sbibih. Collocation methods for solving multivariable integral equations of the second kind. Journal of Computational and Applied Mathematics 236(17) (2012) 4494–4512.
[6] C. Allouch, P. Sablonnière, D. Sbibih. A collocation method for the numerical solution of a two dimensional integral equation using a quadratic spline quasi-interpolant, Numerical Algorithms 62(3) (2013) 445–468.
[7] C. Allouch, P. Sablonnière, D. Sbibih, M. Tahrichi. Product integration methods based on discrete spline quasi-interpolants and application to weakly singular integral equations, Journal of Computational and Applied Mathematics 233(11) (2010) 2855–2866.
[8] C. Allouch, P. Sablonnière, D. Sbibih, M. Tahrichi. Superconvergent Nyström and degenerate kernel methods for integral equations of the second kind, Journal of Integral Equations and Applications 24(4) (2012) 463–485.
[9] C. Allouch, D. Sbibih, M. Tahrichi. Superconvergent Nyström and degenerate kernel methods for Hammerstein integral equations, Journal of Computational and Applied Mathematics 258 (2014) 30–41, 2014.
[10] I. Aziz, Siraj-ul-Islam. New algorithms for the numerical solution of nonlinear Fredholm and Volterra integral equations using Haar wavelets, Journal of Computational and Applied Mathematics 239 (2013) 333–345.
[11] E. Babolian, A. Shahsavaran. Numerical solution of nonlinear Fredholm integral equations of the second kind using Haar wavelets, Journal of Computational and Applied Mathematics 225(1) (2009) 87–95.
[12] C. Dagnino, S. Remogna, P. Sablonnière. On the solution of Fredholm integral equations based on spline quasi-interpolating projectors, BIT Numerical Mathematics 54(4) (2014) 979–1008.
[13] A. Golbabai, B. Keramati. Solution of non-linear Fredholm integral equations of the first kind using modified homotopy perturbation method, Chaos, Solitons & Fractals 39(5) (2009) 2316–2321.
[14] M. E. Gordji, H. Baghani, O. Baghani. On existence and uniqueness of solutions of a nonlinear integral equation, Journal of Applied Mathematics, Volume 2011, Article ID 743923.
[15] M. Javidi, A. Golbabai. Modified homotopy perturbation method for solving non-linear Fredholm integral equations, Chaos, Solitons & Fractals 40(3) (2009) 1408–1412.
[16] R. Kress, V. Maz’ya, V. Kozlov. Linear integral equations. Springer, 1989.
[17] U. Lepik, E. Tamme. Solution of nonlinear Fredholm integral equations via the Haar wavelet method, Proc. Estonian Acad. Sci. Phys. Math. 56(1) (2007) 17–27.
[18] K. Maleknejad, H. Almasieh, M. Roodaki. Triangular functions (TF) method for the solution of nonlinear Volterra–Fredholm integral equations, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 15(11) (2010) 3293–3298.
[19] S. Moradi, M. Mohammadi Anjedani, E. Analoei. On existence and uniqueness of solutions of a nonlinear Volterra-Fredholm integral equation, International Journal of Nonlinear Analysis and Applications 6(1) (2015) 62–68.
[20] Y. Ordokhani. Solution of nonlinear Volterra–Fredholm–Hammerstein integral equations via rationalized Haar functions, Applied Mathematics and Computation 180(2) (2006) 436–443.
[21] Y. Ordokhani, M. Razzaghi. Solution of nonlinear Volterra–Fredholm–Hammerstein integral equations via a collocation method and rationalized Haar functions, Applied Mathematics Letters 21(1) (2008) 4–9.
[22] M. Reihani, Z. Abadi. Rationalized Haar functions method for solving Fredholm and Volterra integral equations, Journal of Computational and Applied Mathematics 200(1) (2007) 12–20.
[23] A.-M. Wazwaz. Linear and nonlinear integral equations. Springer, 2011.
[24] S. Yousef, M. Razzaghi. Legendre wavelets method for the nonlinear Volterra–Fredholm integral equations, Mathematics and Computers in Simulation 70(1) (2005) 1–8.
