Representations of finite groups: Blocks relative to a normal subgroup
- Autores: Noelia Rizo Carrión
- Directores de la Tesis: Gabriel Navarro Ortega (dir. tes.)
- Lectura: En la Universitat de València ( España ) en 2019
- Idioma: español
- Tribunal Calificador de la Tesis: Radha Kessar (presid.), Lucía Sanus Vitoria (secret.), Charles W. Eaton (voc.)
- Programa de doctorado: Programa de Doctorado en Matemáticas por la Universitat de València (Estudi General) y la Universitat Politècnica de València
- Materias:
- Enlaces
- Tesis en acceso abierto en: RODERIC
- Resumen
Algunas de las principales conjeturas en Teoría de Representaciones de Grupos Finitos admiten refinamientos en términos de p-bloques de Brauer. Actualmente solo se vislumbra un camino para atacar este tipo de conjeturas: reducirlas a problemas de grupos simples y utilizar la Clasificación de los Grupos Finitos Simples para resolverlas. Entendemos por reducir a un problema de grupos simples que el problema tiene solución siempre que se comprueben una serie de condiciones para todos los grupos finitos simples. Por supuesto, los subgrupos normales (y sus caracteres irreducibles) juegan un papel fundamental en este proceso.
Una de las técnicas principales utilizadas en la reducción de ciertos problemas de teoría de caracteres a problemas de grupos simples es estudiar una versión proyectiva de los mismos. Con esto queremos decir lo siguiente: sea N un subgrupo normal de G, sea theta un caracter irreducible de N y sea Irr(G|theta) el conjunto de constituyentes irreducibles del caracter inducido theta^G. Hacer una versión proyectiva de un problema es reformularlo en términos de Irr(G|theta) en lugar de Irr(G). Para ello necesitamos entender totalmente la teoría de caracteres sobre el caracter theta. Siguiendo esta filosofía, si queremos atacar algunas conjeturas que involucran p-bloques, necesitamos entender totalmente la teoría de bloques sobre theta. Esta es la motivación detrás de gran parte de esta tesis.
En el Capítulo 1 damos prerrequisitos sobre teoría de caracteres ordinarios y modulares.
En el Capítulo 2 definimos un conjunto de bloques canónicamente construidos sobre un caracter de un subgrupo normal. Estos bloques estarán definidos con respecto a un primo p y un caracter irreducible theta de un subgrupo normal, y les llamaremos theta-bloques. Definimos los theta-bloques utilizando representaciones proyectivas y la teoría de character triples introducida por I. M. Isaacs. Una parte no trivial de este trabajo es probar que los theta-bloques son una partición canónica del conjunto Irr(G|theta). Además, a cada theta-bloque le asociaremos una única clase de conjugación de p-subgrupos de G/N, los theta-grupos defecto. Veremos que, en general, los theta-grupos defecto se comportan como los grupos defecto de los p-bloques de Brauer clásicos.
En el Capítulo 3 seguimos estudiando el conjunto Irr(G|theta) y damos una generalización del conocido teorema de Howlett-Isaacs. Este teorema dice lo siguiente: si theta es G-invariante y |Irr(G|theta)| = 1, entonces G/N es resoluble. Este teorema es una de las primeras aplicaciones de la Clasificación de los Grupos Finitos Simples a la teoría de caracteres. Nuestra generalización dice así: si A actúa por automorfismos sobre G dejando N y theta invariantes, y A permuta transitivamente los elementos de Irr(G|theta), entonces G/N es resoluble. En este capítulo también tratamos con una conjetura de J. F. Humphreys: si todos los caracteres en Irr(G|theta) tienen el mismo grado, entonces G/N es resoluble. En este trabajo damos una caracterización grupo-teórica de esta situación bajo ciertas hipótesis sobre G y N.
Por último, en el Capítulo 4 tratamos con una pregunta clásica: ¿sabe la tabla de caracteres de G cuántos p-subgrupos de Sylow tiene G? En esta tesis damos una respuesta afirmativa a esta pregunta en algunos casos. Para ello, obtenemos una fórmula que permite calcular el número de puntos fijos de la acción de un p-grupo sobre un grupo de orden coprimo con p, generalizando un resultado clásico de Brauer.
