Análisis armónico en dominios irregulares

• Autores: Juan Cavero de Carondelet Fiscowich
• Directores de la Tesis: José María Martell Berrocal (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad Autónoma de Madrid ( España ) en 2019
• Idioma: español
• Número de páginas: 93
• Tribunal Calificador de la Tesis: Ana Vargas Rey (presid.), Joan Eugeni Mateu Bennassar (secret.), Murat Akman (voc.)
• Programa de doctorado: Programa de Doctorado en Matemáticas por la Universidad Autónoma de Madrid
• Materias:
  • Matemáticas
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: Biblos-e Archivo
• Resumen

  • Este proyecto de tesis se ubica en la intersección entre el análisis armónico, las ecuaciones en derivadas parciales y la teoría geométrica de la medida.

    Durante los últimos años ha aumentado el interés por analizar la relación entre el comportamiento de la medida elíiptica y las propiedades geométricas del dominio. Se está estudiando cómo la continuidad absoluta de la medida elíptica con respecto de la medida de superficie, en términos cuantitativos, está relacionada con algunas buenas propiedades de la frontera del dominio, que podría ser irregular. Gran parte de las nuevas técnicas utilizadas se basan en herramientas de análisis armónico moderno desarrolladas en las últimas décadas.

    El primer problema consistió en extender el resultado de perturbación para operadores simétricos de [Fefferman-Kenig-Pipher '91]. Se establece que si la discrepancia entre las matrices satisface una condición tipo medida de Carleson entonces la pertenencia a A_inf de la medida elíptica de uno de los operadores implica la misma propiedad para el otro. El trabajo de [Hofmann-Martell '12] en el semiplano superior sirve como caso modelo para tratar este nuevo escenario. La aplicación de la técnica de extrapolación de medidas de Carleson requiere ser capaz de tratar el caso de perturbación pequeña, con lo que se extienden a su vez los resultados de perturbación de [Dahlberg '86].

    El segundo problema pasa por plantear la perturbación desde un nuevo punto de vista. Para ello se introduce la propiedad de que todas las soluciones acotadas de un operador elíptico satisfagan ''Carleson measure estimates'', o equivalentemente, CME. Se empieza probando que si la medida elíptica del operador original está en A_inf, entonces el opertador perturbado satisface CME siempre que la perturbación sea de tipo Carleson. Posteriormente se extiende el resultado de [Kenig-Kirchheim-Pipher-Toro '14] a dominios del tipo 1-sided CAD, y así se consigue demostrar en particular la equivalencia entre A_inf y CME. Este método es válido para operadores con matrices de coeficientes no simétricas.