Resumen de A dynamical theory for monotone neutral functional differential equations with application to compartmental systems
Una de las cuestiones más importantes en la teoría de ecuaciones diferenciales no autónomas es la descripción a largo plazo de sus trayectorias. Cuando las funciones que definen tales ecuaciones presentan una variación recurrente en el tiempo, sus soluciones definen de manera natural un semiflujo triangular. Gracias a este semiflujo triangular, se pueden analizar en detalle las trayectorias por medio de métodos de dinámica topológica. En este trabajo, se estudia la estructura de los conjuntos omega-límite, lo cual proporciona una visión global de la dinámica de la ecuación. Es bien sabido que, en algunos casos, los conjuntos omega-límite heredan algunas de las propiedades del campo que define la ecuación; en otros casos, su dinámica puede ser mucho más compleja.
Las ecuaciones diferenciales funcionales (abreviado FDEs) con retardo son un tipo concreto de ecuaciones diferenciales que tienen en cuenta no solo el estado actual del sistema, sino también algunos de sus estados pasados. Su interés práctico reside en el hecho de que permiten construir modelos matemáticos en los que el pasado influye en el futuro; algunas aplicaciones dignas de mención son los modelos en epidemiología, la dinámica de poblaciones y la ingeniería de control. Las ecuaciones diferenciales funcionales neutrales (abreviado NFDEs) con retardo son una generalización muy importante de tales ecuaciones. En ellas, se considera la derivada del valor de un operador en lugar de la derivada de la solución. Así, los modelos que utilizan NFDEs pueden representar incrementos y decrementos espontáneos de la solución aparte de la dependencia temporal proporcionada por las FDEs.
El estudio de las propiedades dinámicas de los semiflujos triangulares se ha abordado a menudo asumiendo ciertas condiciones de monotonía para el semiflujo. Estas condiciones son una herramienta útil a la hora de deducir el comportamiento a largo plazo de las soluciones. Cabe mencionar que hay una gran diversidad de condiciones de monotonía, que varían de la quasi-monotonía a la monotonía fuerte.
Durante décadas, se han estudiado ampliamente ecuaciones diferenciales autónomas monótonas (véanse Hirsch, Matano, Polácik y Smith, entre muchos otros). Bajo hipótesis adecuadas, se ha demostrado que las trayectorias relativamente compactas de un semiflujo fuertemente monótono convergen genéricamente hacia el conjunto de equilibrios. Posteriormente, Smith y Thieme estudiaron la dinámica del semiflujo inducido por una FDE con retardo finito que es monótona para el orden exponencial. Esta relación de orden es técnicamente complicada, pero les permitió estudiar ecuaciones que no satisfacen la condición quasi-monótona habitual asociada al orden estándar. Krisztin y Wu, y Wu y Zhao extendieron estos resultados para NFDEs con retardo finito y ecuaciones de evolución, respectivamente.
Últimamente, se ha hecho un gran esfuerzo para estudiar ecuaciones diferenciales no autónomas monótonas deterministas y aleatorias, lo cual ha proporcionado una teoría dinámica tanto para el orden estándar como para el orden exponencial (véanse por ejemplo Chueshov, Jiang y Zhao, Muñoz-Villarragut, Novo y Obaya, Novo, Obaya y Villarragut, Novo, Obaya y Sanz, y Shen y Yi). Asumiendo ciertas propiedades de acotación, compacidad relativa y estabilidad uniforme de las trayectorias, esta teoría asegura la convergencia de las órbitas hacia soluciones que reproducen la dinámica exhibida por la variación temporal de la ecuación. Cabe destacar que, cuando se trata de FDEs con retardo infinito o, más en general, NFDEs con retardo infinito, la propiedad de monotonía fuerte nunca es cierta, con lo que se deben hacer suposiciones más débiles acerca de la monotonía del semiflujo.
El origen de esta teoría se remonta a los años 70, cuando Sacker y Sell demostraron algunos resultados previos sobre la estructura de los conjuntos omega-límite en el caso de ecuaciones casi periódicas. Más adelante, Shen y Yi continuaron con su trabajo en el caso de un flujo distal en la base. Se pueden encontrar resultados más generales en Novo, Obaya y Sanz;
concretamente, estudiaron la estructura de los conjuntos omega-límite en $BU$, el espacio de funciones de $(-\infty,0]$ en $\R^m$ que son acotadas y uniformemente continuas, dotado de la topología compacto-abierta, cuando el flujo de la base es solo minimal y asumiendo una propiedad de estabilidad que está íntimamente relacionada con la distalidad en la fibra. También dedujeron que es apropiado considerar esa topología al estudiar NFDEs con retardo infinito pues, bajo hipótesis naturales, las restricciones de los semiflujos definidos por estas ecuaciones a sus conjuntos omega-límite resultan ser continuas.
Se puede hacer un estudio alternativo de las soluciones recurrentes de FDEs casi periódicas utilizando espacios de memoria evanescente (véase Hino, Murakami y Naito para una definición axiomática y algunas sus propiedades más importantes), aunque, bajo hipótesis naturales, la topología de la norma en estos espacios coincide con la topología compacto-abierta en la adherencia de las trayectorias relativamente compactas, lo cual hace que el enfoque de Novo, Obaya y Sanz parezca más razonable.
Se puede encontrar otro planteamiento interesante del estudio de NFDEs en Staffans, donde se establece que cualquier NFDE con retardo finito y operador estable y autónomo se puede escribir como una FDE con retardo infinito en un espacio de memoria evanescente adecuado. Gripenberg, Londen y Staffans estudian las propiedades fundamentales del operador de convolución asociado a la ecuación. Estas ideas fueron utilizadas en algunos artículos posteriores (véanse por ejemplo Arino y Bourad, y Haddock, Krisztin, Terjéki y Wu). Se pueden encontrar resultados más generales en esta línea en Muñoz-Villarragut, Novo y Obaya, y Novo, Obaya y Villarragut, donde se consideran operadores lineales autónomos con retardo infinito.
Muchos problemas que habían sido resueltos anteriormente para FDEs se han generalizado al caso de NFDEs; a su vez, estas extensiones han planteado interesantes problemas que dan lugar al marco actual. En el caso de NFDEs con retardo infinito y operador autónomo, una transformación tanto del orden estándar como del orden exponencial por medio del operador de convolución asociado a la ecuación proporciona la herramienta necesaria para lograr los resultados esperados, como se puede ver en Muñoz-Villarragut, Novo y Obaya, y Novo, Obaya y Villarragut.
Algunos de los muchos modelos que consisten en NFDEs con retardo son los modelos compartimentales. Están formados por varios compartimentos unidos por medio de tuberías; los compartimentos contienen cierto material que fluye entre ellos a través de las tuberías, y esto ocurre en una cantidad de tiempo no despreciable. A su vez, los compartimentos crean y destruyen material, lo cual queda representado por la parte neutral de la ecuación. El interés teórico de estos modelos reside en la existencia de una integral primera que garantiza ciertas propiedades de estabilidad para el semiflujo que son esenciales en la teoría. Estas NFDEs modelan procesos físicos y biológicos para los que hay un balance que no es instantáneo, aunque se han utilizado en otras áreas como la economía. Algunas de estas aplicaciones son la ecología, la epidemiología, la farmacología, la termodinámica, la teoría de control y la cinemática de medicamentos (véanse Eisenfeld, y Haddad, Chellaboina y Hui, entre muchos otros).
Los sistemas compartimentales se han utilizado como modelos matemáticos para el estudio del comportamiento dinámico de muchos procesos en las ciencias biológicas y físicas (véanse Jacquez, Jacquez y Simon, y las referencias que allí aparecen).
Algunos resultados iniciales para el caso de FDEs con retardo finito e infinito se deben a Györi, y Györi y Eller. Más adelante, Arino y Haourigui demostraron que los sistemas compartimentales descritos por FDEs casi periódicas con retardo finito dan lugar a ciertas soluciones casi periódicas. Györi y Wu, Wu, Wu y Freedman, Arino y Bourad y Krisztin y Wu estudiaron el caso de sistemas compartimentales representados por NFDEs con retardo finito e infinito y operador autónomo. Más recientemente, estos resultados fueron extendidos en Muñoz-Villarragut, Novo y Obaya, y Novo, Obaya y Villarragut, concluyéndose que las trayectorias relativamente compactas convergen a soluciones que reproducen la variación temporal de la ecuación y, lo que es más, se puede predecir cuál será la cantidad final de material dentro de los compartimentos en función de la geometría de las tuberías.
En este trabajo, estudiamos NFDEs no autónomas con operador lineal no autónomo y retardo infinito. Es esta situación, las conclusiones principales que hay en la literatura previa no siguen siendo válidas y, así, la extensión de la teoría requiere el uso de una definición alternativa de orden exponencial que se pueda aplicar en el contexto actual, preservando las propiedades dinámicas de la teoría anterior. Asumimos algunas propiedades de recurrencia en la variación temporal de la NFDE; así, sus soluciones inducen un semiflujo triangular con flujo minimal en la base, $\Omega$. En concreto, los casos casi periódico y casi automórfico quedan incluidos en esta formulación. Invertimos el operador de convolución asociado a la ecuación, generalizando resultados previos en esta línea encontrados en Muñoz-Villarragut, Novo y Obaya. Las propiedades de regularidad de este operador de convolución dependen del tipo de recurrencia presentada por la variación temporal de la ecuación. Asimismo, se consideran nuevas relaciones transformadas de orden, asociadas tanto al orden estándar como al orden exponencial; como el operador es no autónomo, este orden parcial no está definido en $BU$, sino en cada una de las fibras del producto $\Omega\times BU$. De este modo, damos una versión alternativa a la estructura de orden introducida en Wu y Freedman que es válida en el caso de operadores no autónomos. Cuando se utiliza $BU$ como espacio de fase, la teoría estándar de NFDEs proporciona existencia, unicidad y dependencia continua de las soluciones. Esto nos permite estudiar la estructura de los conjuntos omega-límite de las trayectorias acotadas cuando la ecuación satisface ciertas propiedades de monotonía, mejorando resultados previos que aparecen en Muñoz-Villarragut, Novo y Obaya, y Novo, Obaya y Villarragut, y Smith y Thieme, entre otros.
El uso del orden exponencial transformado hace posible imponer condiciones de monotonía que no requieren la diferenciabilidad de los coeficientes que definen el operador, sino solo su continuidad. Esto hace que el orden exponencial transformado sea más natural que el orden exponencial directo cuando el operador es no autónomo. Estos resultados teóricos se aplican a sistemas compartimentales y, de este modo, obtenemos conclusiones bajo condiciones más generales que las presentadas en la literatura previa, mejorando así algunos resultados previos para sistemas dinámicos que son monótonos para el orden exponencial incluso en sus versiones autónomas. Concretamente, des\-cribimos la cantidad final de material dentro de los compartimentos en el caso de sistemas compartimentales definidos por NFDEs con operador no autónomo y retardo infinito.
No obstante, en los Capítulos 9 y 10, asumimos la diferenciabilidad de los coeficientes que definen el operador y estudiamos algunos sistemas compartimentales que son monótonos para el orden exponencial directo. Además, mostramos que la propiedad de 1-recubrimiento de los conjuntos omega-límite es cierta, extendiendo de esta forma resultados anteriores de Krisztin y Wu al caso de NFDEs con variación recurrente en el tiempo.
