Equacions diferencials estocàstiques dirigides per un moviment brownià fraccionari
- Autores: Mireia Besalú Mayol
- Directores de la Tesis: Carles Rovira Escofet (dir. tes.)
- Lectura: En la Universitat de Barcelona ( España ) en 2011
- Idioma: catalán
- Tribunal Calificador de la Tesis: Marta Sanz Solé (presid.), Frederic Utzet Civit (secret.), Marco Ferrante (voc.)
- Materias:
- Texto completo no disponible (Saber más ...)
- Resumen
En aquesta memoria presentem tres treballs dedicats a l'estudi d'equacions diferencials estocastiques dirigides per un moviment Brownia fraccionari.
La primera equacio diferencial estocastica que estudiarem es una equacio amb retard (en la solucio de l'equacio de la part estocastica) i amb restriccions de positivitat.
Com que r (el retard) es un valor positiu, hem de donar com a condicio inicial la solucio de l'equacio a l'interval de r a 0 on la solucio sera una funcio determinista no negativa. El terme Y es el que ens permetra assegurar que la solucio de l'equacio sigui sempre positiva.
La metodologia utilitzada per provar els resultats per a aquesta equacio i per a la seguent que presentarem es similar, encara que amb dificultats tecniques diferents. Considerem equacions deterministes i demostrem els resultats per aquest tipus d'equacions. Llavors com que entenem la integral estocastica que apareix com una integral de Riemann-Stieltjes es facil aplicar els resultats obtinguts a les nostres equacions diferencials estocastiques. Es tracta de la metodologia utilitzada per Nualart i Rascanu a [3].
La segona equacio que treballarem es una equacio diferencial estocastica de Volterra.
Per aquesta equacio demostrarem l'existencia i la unicitat de solucio, i provarem que la solucio te moments finits. Observem que els nostres resultats inclouen com a cas particular els resultats obtinguts per Nualart i Rascanu a [3].
L'interes d'aquesta part recau en l'obtencio d'estimacions per a les integrals de Lebesgue i Riemann-Stieltjes. Amb aquestes estimacions, obtenim les mateixes cotes que les de [3], i la demostracio de l'existencia i unicitat s'aconsegueix seguint els mateixos passos que fan Nualart i Rascanu per la seva equacio.
Finalment, l'ultim treball fa referencia a l'estudi d'una equacio diferencial d-dimensional dxt = f(xt)dyt.
on la funcio de control y no es diferenciable pero es Holder continua.
Una manera d'estudiar aquestes equacions si la funcio de control es Holder continua d'ordre més gran que un meitat, es la desenvolupada per Nualart i Rascanu a [3]. Aquest metode ha sigut estes en un treball recent de Hu i Nualart [2] pel cas que en que l'ordre estigui entre un terç i un mig.
El proposit del nostre treball es obtenir estimacions precises per a la norma del suprem per a la solucio de l'equacio utilitzant la metodologia introduida a [2]. Com aplicacio d'aquests resultats, deduirem l'existencia de moments per a les solucions d'equacions diferencials estocastiques dirigides per un moviment Brownia fraccionari amb parametre de Hurst H entre un terç i un mig Obtindrem finalment, una estimacio per la norma del suprem de la derivada de Malliavin de la solucio de l'equacio anterior. Aquests resultats generalitzen el treball de Hu i Nualart [1] pel cas H més gran que una meitat.
