Bisección iterativa de un símplex regular: paralelización
- Autores: Guillermo Aparicio Llanderas (de Las)
- Directores de la Tesis: Leocadio González Casado (dir. tes.), Eligius Hendrix (codir. tes.)
- Lectura: En la Universidad de Almería ( España ) en 2016
- Idioma: español
- Tribunal Calificador de la Tesis: Emilio Carrizosa Priego (presid.), Pilar Martínez Ortigosa (secret.), Julius Žilinskas (voc.)
- Programa de doctorado: Programa Oficial de Doctorado en Informática
- Materias:
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- Resumen
A menudo nos encontramos con situaciones en las que se desea conseguir el máximo o el mínimo de un determinado valor, pero siguiendo determinadas reglas. Por ejemplo, en una fábrica de muebles desean cortar los tablones de forma que se desperdicie el mínimo posible de madera, pero asegurando que las piezas creadas a partir de los tablones cumplen ciertas condiciones de calidad, forma etc. En general, los problemas de Optimización Global definen situaciones en las que se busca un máximo o un mínimo de una función objetivo de acuerdo a diferentes criterios. La aplicación práctica de la resolución de este tipo de problemas abarca campos de estudio que van desde la propia Matemática a la Ingeniería pasando por la Física, Biología o Economía, etc. Existen multitud de métodos de resolución de problemas de Optimización Global. En esta tesis nos vamos a centrar en el uso del método de Ramificación y Acotación, para un espacio de búsqueda definido por un símplex. Resolver este tipo de problemas cuando la dimensión y/o la precisión requerida son altas tiene un coste computacional muy alto, debido a esto, se hace necesario el uso de la computación paralela de altas prestaciones. Para obtener una mayor eficiencia en los algoritmos de Ramificación y Acotación paralelos, se requiere la determinación de la carga de trabajo de cada subproblema. De esta forma se puede distribuir esa carga de manera equitativa entre los diferentes elementos de proceso. Los árboles de búsqueda generados por los algoritmos de Ramificación y Acotación son unas estructuras de datos irregulares. Por lo tanto, es necesario el uso de un balanceo dinámico de la carga para obtener algoritmos paralelos eficientes. En esta tesis se va a utilizar el método de bisección de un símplex por su lado mayor como modo de refinamiento del símplex. Durante el proceso de bisección iterativa de un símplex regular se genera un árbol binario. Estamos interesados en conocer el tamaño de un subárbol a partir de un nodo cualquiera del árbol, para así poder realizar una estimación de la carga computacional pendiente.
Nuestro propósito es hallar los valores exactos del tamaño del árbol binario y no cotas superiores de su tamaño. El problema que aparece es que, para símplices de dimensión mayor que tres, la selección del lado mayor no es única, es decir, aparecen varios lados mayores que pueden ser divididos. Tradicionalmente, por comodidad, se ha seleccionado, como lado a dividir, el primer lado mayor según la ordenación de los vértices del símplex.
Esta tesis se ha organizado de la siguiente forma: primero se introduce el concepto de Optimización Global y se realiza una clasificación de este tipo de problemas. También se describen los algoritmos de Ramificación y Acotación que a menudo son utilizados para la resolución de problemas de Optimización Global. En esta tesis nos centraremos en problemas cuyo espacio de búsqueda es un símplex regular. Se presenta la definición de símplex y del método de bisección del lado mayor como modo de refinamiento del símplex regular.
Tras esto, se da respuesta a la pregunta: ¿existe una heurística de selección del lado mayor a dividir que genere un árbol menor que la del primer lado mayor? Se estudian distintas heurísticas de selección del lado mayor que se han diseñado con la intención de reducir el número de símplices que aparecen en el árbol binario. Para responder a la pregunta: ¿alguna de esas heurísticas obtiene el árbol de menor tamaño?, se han desarrollado algoritmos secuenciales para responder a la siguiente pregunta: ¿cuál es el tamaño del menor árbol binario generado mediante bisección del lado mayor de un símplex regular? Encontrar el menor tamaño del árbol es un problema de Optimización Combinatoria cuyo coste computacional crece exponencialmente con la dimensión y la precisión requeridas. Se plantea la siguiente pregunta: ¿cuál es el modelo de programación paralelo más eficiente para resolver este problema en sistemas multicore de memoria compartida? Para responder esta pregunta se estudian dos tipos diferentes de algoritmos paralelos, los que utilizan un número fijo de hebras durante su ejecución y los que hacen una gestión dinámica del número de hebras para resolver este tipo de problemas con altos requerimientos de memoria.
Para hacer una estimación del tamaño de un subárbol a partir de un nodo, el tener un árbol con el menor número de formas de símplices reduciría el número de posibles subárboles y por lo tanto, facilitaría el cálculo de una estimación de su tamaño. Se presentan los conceptos forma de un símplex, semejanza de forma y clases de símplices. Además, se va a dar respuesta a la pregunta: ¿cuál es el menor número de formas de los subsímplices en el refinamiento de un símplex regular mediante bisección del lado mayor? En el refinamiento de un símplex mediante bisección del lado mayor, hay que realizar repetidamente el cálculo de distancias para conocer los lados mayores susceptibles de ser divididos. Para reducir el coste computacional de este tipo de algoritmos se puede proporcionar una secuencia de lados mayores a dividir que genere el menor árbol binario. Para concluir la investigación se da respuesta a la cuestión: ¿cuál es la secuencia recurrente de lados mayores a dividir y de menor tamaño para obtener el árbol binario de menor tamaño?
