Sistemas dinámicos en espacios vectoriales topológicos

• Autores: Tomás Domínguez Benavides
• Directores de la Tesis: Antonio de Castro Brzezicki (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Sevilla ( España ) en 1975
• Idioma: español
• ISBN: 9788469437001
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: Idus
• Resumen

  • En la mayor parte de las aplicaciones de la Teoría de Sistemas Dinámicos (espacios de funciones, ecuaciones diferenciales, etc.) el espacio fase lleva aparejada, además de la estructura topológica, una estructura lineal compatible con esta topología. (...) Esta no ha sido, sin embargo, utilizada nunca en la teoría clásica, que se limita a las propiedades topológicas del espacio fase. El desinterés de los autores hacia esta segunda estructura está justificado por la poca relación existente entre ella y la forma de las trayectorias del sistema. Así, en la aplicación a ecuaciones diferenciales autónomas, dados dos puntos �x e y� del espacio fase hay una muy dudosa relación entre las soluciones que pasan por �x e y� y las soluciones que pasan por x+y. igual sucede para trayectorias generales de sistemas dinámicos debido a la no linealidad de la aplicación p que define el flujo. La situación pueden sin embargo, cambiar sustancialmente si se construye a partir de la estructura lineal del espacio fase otra estructura lineal sobre el espacio de evolución que linealice la aplicación p. La definición de una suma y un producto externo en el espacio de evolución que haga lineal la aplicación p puede hacerse sin dificultad, construyéndose así un espacio vectorial sobre el espacio de evolución que hemos representado en el Capítulo I por X ? R. (En todo nuestro trabajo el grupo topológico T es R, aunque igualmente podría tomarse C). De todas las posibles topologías de que puede ser dotado el espacio de evolución, ocupará un papel relevante en esta trabajo la topología ? menos fina que hace continua la aplicación p (topología incial de p). Que esta topología es compatible con la estructura lineal y que puede ser definida por seminormas cuando lo es la del espacio fase está estudiado en la sección 3 del capítulo I. La primera dificultad importante que se plantea estriba en si la estructura lineal del espacio de evolución es compatible con su topología producto usual de X por R. La respuesta afirmativa a esta pregunta está estudiada en la sección 4 utilizando en la demostración las propiedades específicas que se derivan de definir p un flujo continuo. Algunas propiedades algebraicas y topológicas del subespacio Xx{0} cierran el capítulo I.La estructura lineal del espacio de evolución nos permite establecer el núcleo de p como subespacio del primero, y el espacio cociente X ? R/Ker(p), el cual demostramos en la sección 2 del Capítulo II que es isomorfo algebraica y topológicamente al espacio fase X. El principal interés de la estructura lineal está, sin embargo, en la posibilidad de definir los espacios duales y, en consecuencia, las topologías débiles por dualidad de los espacios fases y de evolución. Particularmente, la estructura del espacio dual de (X ? R)? tiene gran importancia por sus aplicaciones al estudio de soluciones débiles de una ecuación diferencial. El teorema 1 de la sección 3 de una información muy completa a cerca del espacio dual de (X ? R)?. Algunos resultados relativos a la completitud del espacio de evolución en relación con la del espacio fase y algunas particularizaciones a espacios de Banach o Hilber completan el Capítulo II.Los conceptos elementales de Dinámica Topológica, tales como trayectorias, puntos críticos o periódicos, conjuntos mínimos, etc., pueden ser formulados al considerar la nueva estructura del espacio de evolución. Estas caracterizaciones las desarrollamos en la sección 2 del capítulo III. Los resultados más importantes de este capítulo surgen del estudio de las posibles relaciones entre estabilidad-Lyapunov y continuidad de una función tipo �proyección�; así el teorema III.3.6. establece una condición necesaria y suficiente para que un punto sea estable-Lyapunov mediante una función P:(X?R)? X. Para poder aplicar estos resultados a conjuntos compactos estables-Lyapunov hemos necesitado establecer un lema sobre la estructura de éstos. La última parte del capítulo estudia la aplicación de todos estos resultados, para lo cual ha sido necesario un conocimiento más profundo de la naturaleza del espacio (X ? R)? buscando un espacio vectorial topológico isomorfo a él, pero cuya estructura sea la de producto ordinario de dos espacios vectoriales topológicos. El teorema fundamental de la sección 4 (teorema 4.6.9 establece la estabilidad de un punto mediante la continuidad de una aplicación ? que ya no es tipo �proyección� como en la sección 3, pero que está definida en el espacio XxR con el producto usual y dotado de una topología homeomorfa a ?.El estudio de otros conceptos clásicos, como mociones estables-Lyapunov, flujos equicontínuos, mociones casi-periódicas, con la estructura considerada en el espaico de evolución nos permite obtener en el capítulo IV nuevos resultados, que relacionan éstos con la continuidad de una aplicación tipo �proyección� definida ahora sobre el conjunto XxRxR. Para establecer esta relación necesitamos definir un tipo de continuidad uniforme más general que el usual, que llamamos continuidad uniforme generalizada. La categoría que se construye a partir de este concepto sugiere posible aplicaciones de éste, fuera de este trabajo. Los teoremas constructivos más importantes de este capítulo permiten caracterizar una moción Lyapunov-estable o una moción positiva o negativamente Lyapunov-estable mediante la continuidad uniforme generalizada de una aplicación Q definida en XxRxR (dotado en cada caso de la topología conveniente). El teorema 3.7 da una condición necesaria y suficiente para que el flujo p sea equicontinuo mediante la continuidad uniforme (usual) de Q en un cierto conjunto. Como resultados prácticos de este teorema se obtiene una nueva demostración para la relación entre moción uniformemente Lyapunov-estable respecto a la trayectoria y flujo equicontinuo sobre ésta, y una caracterización de conjunto casi-periódico mínimo.En el Capítulo V hacemos una exposición de ejemplos de sistemas dinámicos en los que es posible aplicar nuestros métodos por estar dotado el espacio fase de una estructura lineal. En la sección 2 mostramos que el espacio de funciones L8(R,Rn) [23] con la topología *-débil es un espacio vectorial topológico localmente convexo, con lo cual, teniendo en cuenta que las traslaciones generan un flujo continuo sobre este espacio se obtiene un primer ejemplo incluido en nuestras hipótesis.