Resumen de Geometric multigrid methods on semi-structured triangular grids
La simulación numérica de problemas de la física y la ingeniería representa uno de los campos más importantes dentro de las ciencias aplicadas, siendo el contexto natural de aplicación de la mayoría de las técnicas más recientes del análisis numérico. Para el estudio de modelos matemáticos que describen problemas científicos y técnicos, a menudo se requiere la resolución de ecuaciones en derivadas parciales (EDPs). Para ello, discretizaciones por elementos finitos, volúmenes finitos o diferencias finitas se consideran para aproximar de forma adecuada el problema continuo, capturando de forma precisa las características de los procesos físicos que son descritos por ellos.
Estos modelos, a menudo deben ser resueltos en dominios complejos, por lo que una técnica muy popular para su simulación es usar el método de elementos finitos para discretizar el problema en una partición no estructurada del dominio. Este método se prefiere debido a su flexibilidad y su habilidad para tratar dominios con formas arbitrarias.
La discretización de EDPs por este método da lugar a grandes sistemas sparse de ecuaciones algebraicas, que tienen que ser resueltos eficientemente. Principalmente dos tipos de métodos pueden ser utilizados con este fin: métodos directos e iterativos. Mientras que los primeros no son adecuados para tratar sistemas sparse, e incluso en algunos casos la resolución por estos métodos resulta impracticable por el tamaño extremadamente grande de los sistemas, los métodos iterativos aparecen como una alternativa que mantiene el coste computacional aceptable. Sin embargo, la mayoría de los métodos iterativos clásicos no garantizan una convergencia rápida. Sin embargo, algunos de ellos tienen lo que se denomina "propiedad de suavizado'', que consiste en que poseen un efecto de suavizado sobre las componentes del error asociadas a altas frecuencias, mientras que aquellas correspondientes a bajas frecuencias se eliminan lentamente. Esto provoca que cuando el error es suave, estos métodos ya no son capaces de eliminar las componentes que quedan y su convergencia empeora. Una posible solución consiste en combinar la propiedad de suavizado de estos métodos, con la idea de que un error que es suave puede representarse de forma correcta en una malla más grosera, en la que el coste computacional es más bajo, y donde además las componentes que eran suaves en la malla fina, aparecen como oscilatorias y son eliminadas más eficientemente por el "suavizador''. Esta combinación da lugar a los métodos multimalla, que se basan en la utilización de una jerarquía de mallas para eliminar las diferentes componentes del error. Estos métodos están entre los más eficientes para la resolución de sistemas de ecuaciones, y de hecho, pueden resolver una amplia gama de problemas con una complejidad computacional de O(N), siendo N el número de incógnitas del sistema.
Por lo tanto, debido a su interés práctico, en esta tesis se trata la resolución de grandes sistemas sparse de ecuaciones que aparecen en la discretización de ecuaciones en derivadas parciales que modelan matemáticamente problemas que aparecen en la vida cotidiana, mediante el diseño de eficientes métodos multimalla. Dentro de estos métodos, hay dos posibles aproximaciones: los métodos multimalla geométricos, que utilizan una jerarquía de mallas, y los métodos multimalla algebraicos, en los que no se utiliza ninguna información concerniente a la malla en la que la ecuación en derivadas parciales es discretizada. Estos últimos son más adecuados para tratar con discretizaciones en mallas no estructuradas, pero sin embargo para algunos problemas no demuestran la eficiencia que se espera de ellos, mientras que los métodos multimalla geométricos siempre muestran un menor coste por iteración, debido a su habilidad de tomar ventaja de la geometría en las estructuras de datos usadas.
Así pues, aunque los métodos multimalla algebraicos parecen más adecuados para tratar con dominios más complejos, una alternativa es la utilización de métodos multimalla geométricos sobre mallas semi-estructuradas. Esta metodología consiste en considerar una malla inicial totalmente no estructurada para capturar la geometría compleja del problema, y construir una jerarquía de mallas mediante un proceso de refinamiento regular sobre cada uno de los elementos de la malla inicial. Esta estrategia resulta en una malla globalmente no estructurada, que esta formada por regiones estructuradas, lo que permite aplicar el multimalla geométrico sobre estas regiones directamente. Además, para la aplicación de un método multimalla geométrico, no es necesario construir la matriz global del sistema ya que los procesos que forman parte de estos algoritmos son procesos locales, y por lo tanto pueden ser realizados mediante operaciones basadas en moléculas. Esto implica un importante ahorro de memoria, ya que para problemas con coeficientes constantes, unas pocas moléculas bastan para representar el operador discreto, y además resulta en una implementación muy eficiente del método multimalla.
A lo largo de esta tesis, se trata el diseño de métodos multimalla geométricos para la resolución de grandes sistemas sparse de ecuaciones, resultantes de la discretización por elementos finitos lineales de EDPs sobre mallas triangulares semi-estructuradas. Para el diseño de estos métodos, el análisis de Fourier local aparece como una herramienta muy útil para elegir las componentes adecuadas de los algoritmos multimalla, las cuales caracterizan su comportamiento. Este análisis, se ha aplicado principalmente en el contexto de discretizaciones por diferencias finitas sobre mallas rectangulares, mientras que recientemente se ha presentado una extensión a mallas triangulares. Mediante este análisis y su extensión a problemas vectoriales, que es desarrollada en esta tesis, se obtendrán estimadores muy precisos de la convergencia asintótica de estos métodos, lo que nos permitirá elegir las componentes que proporcionen una mejor convergencia. Por esto, este análisis será un punto clave en el desarrollo de esta tesis.
De forma más concreta, los contenidos de esta tesis se organizan de la siguiente manera:
En el Capítulo 1, se motiva el desarrollo de esta tesis, presentando una introducción general de los conceptos que se van a tratar.
En el Capítulo 2, se realiza una introducción básica a los métodos multimalla, haciendo énfasis en los conceptos fundamentales y en los aspectos computacionales. La presentación de estas ideas se lleva a cabo sobre mallas estructuradas triangulares, tomando como problema modelo el problema de Poisson sobre un dominio triangular equilátero.
La base teórica del análisis de Fourier local sobre mallas estructuradas triangulares se desarrolla en el Capítulo 3. La clave para la extensión de este análisis a mallas no ortogonales será presentada y las principales aproximaciones de este análisis: el análisis de suavizado y de doble malla, se desarrollan, junto con una extensión a un análisis de k-mallas. Además, se presenta un análisis de Fourier no estándar para suavizadores de tipo caja y suavizadores basados en coloraciones de la malla. Al final del capítulo, los resultados predichos mediante el análisis de Fourier local se comparan con los resultados obtenidos computacionalmente con el código, para validar las estimaciones obtenidas de la convergencia asintótica de estos métodos. Además, estos resultados nos servirán para analizar la influencia de la geometría de la malla en la convergencia de los métodos.
El Capítulo 4 se centra en la implementación eficiente de un método multimalla geométrico para discretizaciones mediante elementos finitos lineales sobre mallas semi-estructuradas. Se presentan las ventajas que nos ofrecen este tipo de mallas, al igual que la posibilidad de utilizar operaciones basadas en moléculas. Se detalla la implementación del método de elementos finitos en forma molecular, y una forma eficiente de construir dichas moléculas utilizando un hexágono de referencia. Finalmente, se muestra la utilidad del análisis de Fourier local para el diseño de un algoritmo multimalla geométrico por bloques, en el cual en cada elemento triangular de la malla más grosera se eligen componentes del algoritmo distintas dependiendo de la geometría de estas regiones.
En el Capítulo 5, las ideas desarrolladas en los capítulos anteriores para problemas escalares se extienden a problemas vectoriales. Principal atención se centra en la generalización del análisis de Fourier local a sistemas de ecuaciones en derivadas parciales. Además, con el objetivo de ilustrar la implementación en forma molecular de estos problemas, las ecuaciones de la elasticidad se consideran como problema modelo. Para terminar con este capítulo, el análisis de Fourier local se utiliza para diseñar un método multimalla geométrico eficiente para el problema modelo de la elasticidad, y algunos experimentos numéricos son presentados para demostrar el buen comportamiento del método propuesto.
El Capítulo 6 se centra en el diseño de un algoritmo multimalla geométrico eficiente para una estabilización de la discretización por elementos finitos lineales del problema de la poroelasticidad. Se introduce el modelo físico de este problema y se comentan las dificultades numéricas que aparecen en su resolución mediante métodos de elementos finitos estándar. Se presenta una manera de estabilizar este problema mediante la introducción de un término de perturbación en la ecuación del flujo, y se ilustra la implementación molecular de esta discretización. Para acabar el capítulo, se propone un método multimalla geométrico, basado en suavizadores de tipo caja, que resulta en un método eficiente para la resolución de este problema, lo que se confirma con algunos resultados del análisis de Fourier local y algunos experimentos numéricos.
Finalmente, en el Capítulo 7, se comentan las principales ideas de esta tesis y se presentan algunas conclusiones. Además, los resultados originales que han surgido en este trabajo son concretados y se comentan futuras líneas de investigación relacionadas con el trabajo aquí presentado.
