Resumen de Structures and symmetry-breaking in the fluctuations of nonequilibrium systems
Desentrañar los misterios de la Naturaleza ha sido siempre uno de los principales desafíos de la humanidad. A lo largo de los siglos, hemos intentado resolver preguntas tales como: ¿de qué están compuestas las diferentes sustancias? ¿Por qué llueve? ¿Por qué el sol sale y se pone todos los días? La búsqueda de respuestas para esas cuestiones fundamentales abre la puerta a un nuevo e interesante problema: a la luz de esta nueva información, ¿es posible anticipar lo que va a ocurrir? En otras palabras, ¿somos capaces de detectar patrones generales a partir de estas respuestas y usarlas para predecir un comportamiento futuro? Estos elementos constituyen los pilares en los cuales se sustenta la física. En líneas generales, la física persigue entender los fenómenos naturales caracterizando sus causas y deduciendo principios básicos y teorías que permiten hacer predicciones cuantitativas sobre observaciones futuras. En este sentido, la física, como ciencia que pretende obtener las leyes generales que gobiernan la Naturaleza, ocupa un lugar especial entre los diferentes campos que componen las Ciencias Naturales, con un amplio grado de aplicabilidad en Química, Biología, Geología e incluso en las Ciencias Sociales.
El espectro de fenómenos descritos por la física abarca desde los sistemas más pequeños (por ejemplo, las partículas que constituyen la materia y la radiación) hasta los más grandes (galaxias, cúmulos de galaxias, supercúmulos...). Cuando lidiamos con la ambiciosa tarea de entender el universo, nos damos cuenta de que la naturaleza presenta una estructura jerárquica. Con el objetivo de caracterizar sus propiedades, es posible dividir la realidad en diferentes niveles de descripción, cada uno de los cuales definidos por unas escalas de longitud y tiempo típicas. Por ejemplo, imaginemos un litro de agua dentro de un vaso Dewar (esto es, un recipiente aislado térmicamente). Las escalas de longitud y tiempo que podemos medir a simple vista en un laboratorio definen el nivel macroscópico. Sin embargo, es bien conocido que el litro de agua está compuesto por un número de moléculas del orden del número de Avogadro. Estas escalas de longitud y tiempo mucho más pequeñas definen un nuevo nivel de descripción al que nos referimos como nivel microscópico (esta división no es única y representa una versión simplificada de la realidad. Ciertamente, las moléculas de agua están compuestas por diferentes partículas subatómicas tales como electrones, quarks, etc., que poseen sus respectivas escalas. Es más, el litro de agua podría ser simplemente una pequeña fracción del Océano Atlántico, que a su vez presenta sus propias escalas de longitud y tiempo típicas). Al estudiar las propiedades de cada nivel por separado, nos damos cuenta de que éstos poseen unos observables propios que los caracterizan, que a su vez satisfacen ciertas relaciones. Esas leyes gobiernan el comportamiento de cada estructura jerárquica. En el ejemplo del agua, el nivel macroscópico está completamente caracterizado por magnitudes tales como la temperatura, el volumen, la presión, etc. Asimismo, existe una teoría macroscópica que establece relaciones entre esos observables: la Termodinámica. Por otra parte, cuando pensamos en las moléculas que componen el agua, su comportamiento es descrito por su posición, velocidad, energía, etc., o sus correspondientes funciones de onda, y las leyes que gobiernan su evolución están definidas por la Mecánica Clásica o Cuántica, respectivamente.
La clara separación entre diferentes escalas conduce a una cuestión fundamental: si todos los niveles de descripción forman parte de la misma realidad, ¿cuál es la conexión entre los niveles microscópico y macroscópico? El campo de estudio que intenta encontrar una solución a este dilema es la Mecánica Estadística, cuyo principal objetivo es describir las propiedades macroscópicas de un sistema a partir de las leyes que gobiernan el mundo microscópico. Pensemos de nuevo en el ejemplo del agua en el vaso Dewar. Por simplicidad, asumamos que las leyes que describen el comportamiento de las moléculas de agua vienen dadas por la Mecánica Clásica. De esta forma, las ecuaciones que definen la dinámica de cada partícula son deterministas, es decir, su evolución está completamente determinada una vez que se fijan las condiciones iniciales de cada molécula. Sin embargo, aunque este sistema es formalmente resoluble, encontrar una solución a un número ecuaciones diferenciales acopladas del orden del número de Avogadro es, en general, impracticable. Es más, en la práctica resulta imposible fijar y determinar experimentalmente dicho número de condiciones iniciales. Como consecuencia, la existencia de tal cantidad de partículas nos conduce a un tratamiento estadístico del problema. La Mecánica Estadística trata con los numerosos grados de libertad microscópicos con el objetivo de obtener leyes estadísticas que nos permitan entender el complejo comportamiento macroscópico. Bajo este marco, podemos determinar la media o valor promedio de un observable macroscópico, que corresponde al valor típico que obtendremos al medir en el laboratorio (siempre y cuando el sistema sea ergódico). Sin embargo, podemos encontrar desviaciones respecto al valor medio de dicha magnitud como consecuencia de su naturaleza estadística. En este caso, se dice que el valor del observable fluctúa. Por tanto, las fluctuaciones se entienden como reminiscencias del mundo microscópico a nivel macroscópico. El estudio de las fluctuaciones es objeto fundamental en la física moderna, y constituye el tema central de esta Tesis.
La probabilidad de observar una fluctuación dada, normalmente, decae con el número de partículas del sistema. Como consecuencia de ello, medir una desviación del valor promedio de una magnitud macroscópica en un laboratorio es, en general, poco probable. La situación es incluso más dramática si estamos interesados en grandes desviaciones. Para ilustrar este hecho, imaginemos que nos encontramos en una habitación aislada del exterior y, en un momento dado, todo el aire del lugar se condensa en la esquina superior de la estancia. Este evento es un ejemplo paradigmático de lo que se entiende por una gran fluctuación. Aunque este evento raro no está prohibido por la física, la probabilidad de que tenga lugar es tan pequeña que, en la práctica, no ocurrirá. Por tanto, la cuestión que surge de manera natural es: ¿por qué nos interesamos en el estudio de fenómenos que rara vez suceden? O reformulando la pregunta, ¿por qué la caracterización de fluctuaciones grandes tiene especial relevancia en física? A continuación se proporcionan tres argumentos de peso que sustentan la importancia de analizar la estadística de grandes desviaciones.
1 - Dilema del no equilibrio. Describir el comportamiento macroscópico en términos de la dinámica microscópica es una ardua tarea, suponiendo todavía un desafío en la mayoría de los casos. Imaginemos un sistema aislado que no presenta histéresis. Bajo estas condiciones, tras transcurrir un cierto tiempo transitorio, el sistema alcanzará un estado en el que las variables macroscópicas no cambien con el tiempo, conocido como estado de equilibrio termodinámico. En lo que se refiere a sistemas en equilibrio, la Mecánica Estadística ha alcanzado un gran éxito, proporcionando una teoría general capaz de conectar ambos niveles de descripción (microscópico y macroscópico): la teoría de colectividades. Bajo este marco teórico, se pueden construir y relacionar las diferentes magnitudes termodinámicas macroscópicas (entropía, energía libre, temperatura, presión, ...) desde el conocimiento de las leyes de la Mecánica Clásica o Cuántica que controlan la evolución de los componentes microscópicos. De esta manera, postulando que cada estado microscópico que da lugar a un estado macroscópico de equilibrio dado tiene a priori la misma probabilidad de ocurrir (postulado de igual probabilidad a priori), la Mecánica Estadística establece que la entropía (observable macroscópico) puede ser relacionada con el número de microestados compatibles con macroestados de la misma energía. En este contexto, las fluctuaciones juegan un papel destacado, ya que mediante la caracterización de su estadística, se pueden calcular los potenciales termodinámicos más relevantes (un ejemplo de ello viene dado por la ampliamente conocida fórmula de Einstein).
Considerar que un sistema real está en equilibrio termodinámico se ha convertido en una excelente aproximación en muchas situaciones, donde la Mecánica Estadística ha alcanzado predicciones sobresalientes. Sin embargo, en la naturaleza no existen sistemas reales en equilibrio (los cuales requerirían, por ejemplo, materiales aislantes perfectos). Es más, la mayoría de los fenómenos que encontramos en la naturaleza están fuera del equilibrio. Pensemos en nosotros mismos. Nuestro cerebro está compuesto por miles de millones de neuronas en continua actividad, enviando y recibiendo señales eléctricas, lo que conduce a una estructura altamente compleja que trabaja lejos del equilibrio. En nuestro corazón entra un flujo sanguíneo que luego es bombeado a todo el cuerpo a través de un proceso puramente fuera del equilibrio, en el que diferentes partes se contraen y se expanden de manera no trivial. Otros mecanismos como la respiración, la división celular o la replicación del ADN son algunos ejemplos más de procesos fuera del equilibrio que tienen lugar en nuestro cuerpo. Más allá de organismos vivos, en la naturaleza abundan sistemas que operan lejos del equilibrio en todas las escalas. Por ejemplo, cristales líquidos bajo la acción de campos eléctricos o magnéticos externos, los cuales se encuentran en membranas celulares o pantallas LCD; los mares y los océanos donde los flujos complejos y turbulentos son paradigmas de su comportamiento; o las estrellas, las cuales presentan altos gradientes de presión y temperatura, fenómenos de convección, etc. En general, se trata de sistemas abiertos o con histéresis, que a menudo se encuentran bajo la acción de fuerzas externas o fuentes de ruido, sujetos a flujos de masa o energía. Una situación interesante surge cuando el sistema evoluciona a un estado en el que sus variables macroscópicas permanecen constantes en el tiempo. Decimos entonces que el sistema se encuentra en un estado estacionario fuera del equilibrio. Dichos estados son los más similares a las situaciones de estados de equilibrio, siendo el principal objeto de estudio en la mayoría de los trabajos que estudian fenómenos de no equilibrio.
A pesar de su ubicuidad, no existe una teoría general que sea capaz de predecir el comportamiento macroscópico a partir de las leyes microscópicas en sistemas lejos del equilibrio. El papel crucial desempeñado por la dinámica microscópica fuera del equilibrio dificulta el desarrollo de una teoría que conecte ambos niveles de descripción. Como consecuencia de ello, las trayectorias o historias, es decir, las secuencias de estados seguidas por el sistema durante su evolución, emergen como elemento central para caracterizar las propiedades de no equilibrio. En general, tales trayectorias vienen descritas por ecuaciones fenomenológicas que se obtienen al usar aproximaciones ad hoc en cada situación particular, como por ejemplo las ecuaciones de Langevin, Fokker-Planck o Navier-Stokes. Además, de manera similar a lo que sucede en equilibrio, se pueden encontrar fenómenos relacionados con la ruptura de una simetría, auto-organización, coexistencia de fases, etc., lejos del equilibrio en el espacio de trayectorias. Las inestabilidades detrás de estos procesos se conocen como transiciones de fase dinámicas (DPTs, por sus siglas en inglés), las cuales separan regiones donde las historias que caracterizan la evolución del sistema presentan diferentes propiedades y estructuras.
Hoy en día, inspirados por la fórmula de Einstein y por la destacada relevancia de las fluctuaciones en el equilibrio, se espera que una comprensión más profunda de las fluctuaciones de observables macroscópicos fuera del equilibrio pueda cubrir en parte la carencia de una teoría general que vincule ambos niveles de descripción. En efecto, la Teoría de Colectividades en equilibrio puede entenderse en términos de una Teoría de Grandes Desviaciones o LDT por sus siglas en inglés (el marco matemático que describe el comportamiento de grandes fluctuaciones), abriendo nuevos caminos para profundizar en el estudio de situaciones fuera del equilibrio. La metodología de la LDT proporciona un esquema robusto del cual se podrían derivar predicciones generales lejos del equilibrio. En el núcleo de este marco teórico, las funciones de grandes desviaciones (LDF, por sus siglas en inglés), elementos centrales de dicha teoría, podrían ser consideradas, en una extensión natural, como análogos del no equilibrio de los potenciales termodinámicos, estableciendo un puente entre los niveles de descripción microscópico y macroscópico. Adicionalmente, se espera que la LDF muestre una estructura mucho más compleja fuera del equilibrio, conteniendo información clave sobre propiedades de no equilibrio. Sin embargo, estas ideas no están exentas de problemas. Una de las principales dificultades es la identificación de observables macroscópicos relevantes. La ausencia de una teoría como la Termodinámica fuera del equilibrio conduce a una ausencia de la definición correcta (si es que existe) de las magnitudes que caracterizan completamente el comportamiento de un sistema macroscópico (elemento esencial en el desarrollo de la teoría de colectividades en equilibrio). Para aquellos sistemas que pueden ser descritos a través de la evolución de algunas magnitudes conservadas (como la temperatura, la energía, la densidad de partículas, ...), es ampliamente aceptado que los observables esenciales de no equilibrio son las corrientes o flujos asociados que surgen en respuesta a las fuerzas o gradientes externos que hacen que el sistema se encuentre fuera del equilibrio. De hecho, hoy en día uno de los principales objetivos en la física del no equilibrio es caracterizar las fluctuaciones de las corrientes, siendo una fuente de muy generales resultados. En otras situaciones, podrían ser buenos candidatos otros observables integrados en el espacio y en el tiempo (por ejemplo, actividad, densidad,...), pero en general, estos dependen fuertemente de las características de cada sistema particular.
Sin embargo, aún identificándose los observables relevantes que caracterizan el comportamiento de no equilibrio, la obtención de la función de grandes desviaciones es una tarea altamente compleja, ya que, en general no conocemos la estructura de la distribución de probabilidad de los estados (dinámicos) microscópicos, o incluso si tal distribución existe. El cálculo de la LDF a partir de la dinámica microscópica solo ha tenido éxito en unos pocos sistemas muy simplificados como son los gases reticulares estocásticos. Sin embargo, en las últimas décadas, Bertini, De Sole, Gabrielli, Jona-Lasinio y Landim han formulado una teoría para estudiar fluctuaciones dinámicas en sistemas difusivos lejos del equilibrio: la Teoría de Fluctuaciones Macroscópicas (MFT, por sus siglas en inglés). Partiendo de una descripción mesoscópica del sistema en términos de hidrodinámica fluctuante (completamente caracterizadas por tan solo unos pocos coeficientes de transporte, los cuales pueden ser fácilmente determinados a partir de experimentos o simulaciones), la MFT ofrece predicciones detalladas para las funciones de grandes desviaciones de interés en los límites de grandes tiempos y tamaños. Como interesante subproducto, la MFT también determina la trayectoria más probable seguida por el sistema para mantener una fluctuación dada. Comprender las propiedades y la estructura espacio-temporal de estas trayectorias óptimas es de suma importancia, ya que contienen información sobre posibles transiciones de fase dinámicas que aparecen en fluctuaciones, mientras que sus simetrías conducen a nuevos teoremas de fluctuación. Por tanto, la aplicación de dicho esquema proporciona resultados profundos y muy generales que nos ayudan a mejorar nuestra comprensión sobre el comportamiento de no equilibrio.
2 - Dinámica efectiva. La segunda razón que justifica la importancia de estudiar eventos raros está relacionada con la determinación de lo que se denomina dinámica efectiva. Como se mencionó anteriormente, en general es casi imposible medir una fluctuación rara en un experimento. Sin embargo, avances recientes han demostrado que las fluctuaciones admiten una interpretación activa en términos de una teoría de control. De esta forma, mediante el uso de una versión generalizada de la transformada h de Doob, se puede construir una dinámica efectiva cuyas trayectorias típicas se correspondan con los eventos raros de la dinámica original. Además, este mecanismo proporciona la fuerza efectiva externa que debe aplicarse para hacer que dichos eventos raros se vuelvan típicos. En los últimos años se han realizado muchos avances, incluidos ejemplos explícitos, sobre la determinación de tales dinámicas efectivas. A la luz de estos mecanismos, la determinación de la distribución de probabilidad de eventos raros, así como la caracterización de fenómenos interesantes tales como DPTs, rupturas de simetría, emergencia de estructuras ordenadas, etc., son, en la actualidad, más accesibles tanto en simulaciones como en experimentos. Ciertamente, esta metodología abre la puerta a un nuevo mundo de posibles aplicaciones de la gran cantidad de resultados y técnicas desarrolladas en estudios de grandes fluctuaciones.
3 - Sistemas pequeños. Finalmente, el último argumento que respalda el interés en las grandes fluctuaciones se basa en el papel fundamental que éstas desempeñan cuando tratamos con sistemas pequeños. Hemos visto que la probabilidad de observar una desviación del valor promedio decae exponencialmente con el número de partículas del sistema, razón por la cual los eventos raros apenas tienen lugar en experimentos macroscópicos. Sin embargo, si el sistema es pequeño, la diferencia de escalas entre las descripciones microscópica y macroscópica se reduce notablemente, presentando además un número de partículas menor. En consecuencia, las grandes fluctuaciones se vuelven mucho más probables, convirtiéndose en elementos esenciales para entender el comportamiento del sistema. Este hecho tendrá una importancia crucial en, por ejemplo, dispositivos nanoelectrónicos, donde las fluctuaciones condicionan severamente sus propiedades y características y cuyos efectos deben tenerse en cuenta.
A la luz de lo expuesto anteriormente, no cabe duda de que el estudio de las fluctuaciones es un objetivo esencial para la física moderna. El propósito de esta Tesis será indagar en el papel que juegan las fluctuaciones arbitrariamente fuera del equilibrio bajo los marcos de la Teoría de Fluctuaciones Macroscópicas y la Teoría de Grandes Desviaciones. En particular, nos hemos centrado en el estudio de observables integrados en el espacio y en el tiempo en diferentes situaciones, caracterizando las propiedades de la distribución de probabilidad de sus fluctuaciones, así como sus LDFs y los caminos óptimos asociados. Como fruto de esta investigación, hemos obtenido interesantes resultados que podrían arrojar luz sobre el comportamiento de sistemas fuera del equilibrio , allanando el camino para nuevas investigaciones futuras. A continuación detallamos la estructura de la presente Tesis, así como los principales resultados derivados de ésta.
En el Capítulo 2 presentamos una introducción de la Teoría de Fluctuaciones Macroscópicas. Centrándonos en sistemas caracterizados por una ley de conservación, describiremos su evolución a nivel mesoscópico, que servirá como punto de partida para desarrollar los distintos aspectos que caracterizan la MFT. En particular, mostraremos cómo el estudio de la distribución de probabilidad de observables relevantes se torna en un problema variacional cuyas soluciones son las trayectorias óptimas que llevan a una fluctuación dada, lo que conduce a determinar la correspondiente LDF. Asimismo, presentaremos algunos resultados esenciales y generales sobre fluctuaciones y los traduciremos al lenguaje de grandes desviaciones y MFT. Finalmente, describiremos brevemente la evolución mesoscópica de otras clases de sistemas, tales como sistemas sin magnitudes conservadas, para los cuales podrán ser generalizadas algunas de las diferentes técnicas de la MFT.
Como hemos visto, las trayectorias más probables que conducen a una fluctuación dada codifican información clave sobre sus propiedades estadísticas. Este hecho convierte la determinación de sus principales características en una cuestión fundamental. En el Capítulo 3 estudiaremos este tema, obteniendo los siguientes resultados: - Los campos de corriente óptimos satisfacen una relación fundamental completamente general que restringe fuertemente su estructura. En el caso particular, aunque frecuentemente observado, de considerar un sistema que muestra una dirección privilegiada (por ejemplo, un sistema sometido a un gradiente en una dirección con condiciones de contorno periódicas en todas las componentes ortogonales), dicha relación implica un comportamiento no local del campo de corriente óptimo y, por consiguiente, en la LDF de la corriente, reflejo de una de las principales características en situaciones fuera del equilibrio.
- Las observaciones previas de campos vectoriales de la corriente con estructura encajan perfectamente en esta relación. Dado que este resultado no se basa en ninguna hipótesis sobre las condiciones de contorno, proporciona un importante sustento para nuevas conjeturas que arrojen luz sobre el complejo problema variacional para la LDF en muchos sistemas generales arbitrariamente alejados del equilibrio.
El Capítulo 4 está dedicado al estudio de las fluctuaciones de la corriente térmica en un modelo de fluido en reposo incompresible d-dimensional que sujeto a un gradiente de temperatura en una dirección. Macroscópicamente, este sistema obedece la ley de Fourier de la conducción térmica y su comportamiento se encuentra totalmente caracterizado por el campo de temperatura a lo largo del mismo. De este estudio, los principales resultados que inferiremos son los siguientes: - Hemos calculado la expresión explícita de los campos de temperatura más probables, analizando sus propiedades para distintos valores de la corriente integrada en el tiempo y en el espacio y de la intensidad del gradiente térmico. De esta manera, hemos comprobado que estos campos óptimos se pueden clasificar en familias de perfiles universales con la misma estructura matemática, lo que conduce a un hecho relevante: los sistemas sometidos a diferentes gradientes térmicos exhibirán un perfil de temperatura óptima con la misma forma funcional para una corriente integrada determinada (que, obviamente, será distinta en cada uno de estos sistemas).
- Una vez que determinados los campos de temperatura óptimos, se ha obtenido la LDF correspondiente que controla la distribución de probabilidad de la corriente térmica. Con ello hemos observado que, mientras que las desviaciones de dicha distribución respecto de la gaussiana son pequeñas en torno al estado estacionario, por lo que ésta puede ser aproximada por una gaussiana deformada, su comportamiento para grandes desviaciones es mucho más complejo, lo que aumenta la probabilidad de observar eventos raros.
- Finalmente, hemos derivado la forma analítica de las funciones de correlación a n puntos integradas en el espacio y en el tiempo para el campo de corriente térmica arbitrariamente lejos del equilibrio, así como algunas relaciones interesantes entre los cumulantes de orden inferior de la distribución de corrientes, elementos que pueden ser testeados en futuras investigaciones experimentales.
En el Capítulo 5 nos centraremos en el estudio de las transiciones de fase dinámicas a nivel fluctuante en el espacio de las trayectorias, uno de los fenómenos más intrigantes de la física de no equilibrio. En particular, analizaremos la existencia de las DPTs en fluctuaciones de la corriente integrada para un sistema difusivo anisotrópico bidimensional periódico bajo la acción de un campo externo. Las siguientes conclusiones se derivarán de dicho análisis: - Hemos encontrado una transición de fase dinámica asociada a la ruptura de una simetría de traslación espacio-temporal para grandes fluctuaciones de la corriente. Esta DPT separa una fase de fluctuación constante y sin estructura con una estadística de corrientes gaussiana asociada, de otra caracterizada por estrucutas coherentes que se mueven en forma de ondas viajera unidimensionales con distribución de corriente no gaussiana, revelando la aparición de orden para fluctuaciones raras con estructuras auto-organizadas, lo cual aumenta la probabilidad de que éstas ocurran.
- En el caso particular del modelo conocido como proceso de exclusión simple débilmente asimétrico, o Weakly Asymmetric Simple Exclusion Process, (WASEP, por sus siglas en inglés), hemos caracterizado tal DPT tanto desde un nivel mesoscópico bajo el marco MFT, como desde un nivel microscópico mediante el uso de simulaciones Monte Carlo extensivas con algoritmos de clonación, obteniendo un extraordinario acuerdo entre ambas descripciones. Curiosamente, la sCGF presenta una no analiticidad en su segunda derivada a lo largo de la línea de transición, lo que implica que la DPT es de segundo orden. Este resultado ha sido corroborado microscópicamente mediante la definición de un nuevo parámetro de orden que toma un valor igual a cero para la fase sin estructura y aumenta al cruzar el punto de transición.
- Por último, fruto de la interacción entre el campo externo, la anistropía y la alta dimensionalidad considerada (dimensión mayor que 1), se ha obtenido un rico e interesante diagrama de fases dinámicas para el WASEP. Además de la ya mencionada transición de fase dinámica de segundo orden, se ha descubierto una interesante DPT de primer orden que separa diferentes fases de onda viajera, revelando la existencia de regiones en las que ambas coexisten.
Originariamente, la MFT fue desarrollada para estudiar grandes fluctuaciones en sistemas difusivos. Sin embargo, estas técnicas podrían generalizarse a otras situaciones caracterizadas por ecuaciones de evolución mesoscópicas. De esta forma, en el Capítulo 6 analizaremos la distribución de fluctuaciones en el modelo de Landau-Ginzburg dependiente del tiempo en equilibrio. Este sistema está descrito por un campo escalar que evoluciona siguiendo una dinámica no conservada localmente dada por el modelo A de Hohenberg-Halperin. El modelo de Landau-Ginzburg es un modelo paradigmático de transiciones de fase, el cual ilustra la ruptura de una simetría cuando el sistema cambia de una fase desordenada (en la que el hamiltoniano tiene solo un mínimo global) a uno ordenado (donde el hamiltoniano tiene dos mínimos globales diferentes). En este contexto, nos centraremos en las fluctuaciones de la magnetización integrada en el espacio y en el tiempo, de cuyo estudio extraeremos las siguientes conclusiones: - Hemos proporcionado evidencias de la existencia de una transición de fase dinámica de primer orden cuando el hamiltoniano de Landau-Ginzburg presenta dos mínimos diferentes. Bajo la conjetura de que los campos de magnetización óptimos son uniformes, hemos mostrado que la función generadora de los cumulantes escalada asociada a dichas trayectorias tiene una discontinuidad en su primera derivada, un comportamiento típico de DPTs de primer orden, lo que podría indicar la aparición de una región de magnetizaciones integradas comprendidas entre ambos mínimos donde tendría lugar coexistencia de fases dinámicas.
- Hemos encontrado dos nuevas fases dinámicas con estructura temporal que podrían emerger en dicha región: una solución de tipo instantón en la que el sistema permanece en una configuración estática que se corresponde con uno de los mínimos del hamiltoniano y, en un cierto instante de tiempo, éste salta a un nuevo estado uniforme caracterizado por el segundo de los mínimos, y una solución periódica en el tiempo en la que el sistema oscila de forma homogénea entre dos valores del campo de magnetización. Ambas estructuras presentan una LDF de valor inferior a la asociada al campo uniforme. Sin embargo, la elevada complejidad del problema variacional asociado al estudio de fluctuaciones de magnetización integrada en tiempo y espacio abre la puerta a la existencia a la existencia de nuevas estructuras con dependencia espacio-temporal no exploradas que se alcen como mejores mínimos de la acción, una línea de investigación realmente interesante en la que profundizaremos en futuros trabajos.
En el Capítulo 7 determinaremos explícitamente la dinámica efectiva con probabilidad conservada bajo la cual los eventos raros de la dinámica original se vuelven típicos en el caso de fluctuaciones de observables generales integrados en el espacio y en el tiempo para una partícula que se difunde en un potencial periódico unidimensional en los límites de tiempos largos y ruido débil. A continuación detallamos las conclusiones que hemos obtenido.
- Hemos determinado la dinámica efectiva relativa al estudio de las fluctuaciones de observables integrados en el tiempo y el espacio completamente generales, identificando la fuerza efectiva bajo la cual se fuerza a la partícula a exhibir comportamientos atípicos. Esta nueva dinámica ha demostrado no ser exclusivamente una ligera modificación de la original bajo la aplicación de un campo constante no conservativo, sino que implica una transformación mucho más compleja.
- Para el caso en que el observable es de "tipo corriente", hemos encontrado que el sistema exhibe una transición de fase dinámica entre una fase de fluctuación estática con una función generadora de los cumulantes escalada (o sCGF pos sus siglas en inglés) constante y una trayectoria propagativa periódica en el tiempo a la que se asocia una sCGF mucho más compleja cuyo valor puede obtenerse como la solución de un problema de optimización. Curiosamente, la forma de la fuerza efectiva cerca de la transición revela la naturaleza altamente no trivial de la DPT, muy diferente de aquellas que se observan para sistemas compuestos por una partícula bajo la acción de un campo conservativo más una fuerza constante no conservativa.
- Como subproducto interesante, hemos deducido una forma alternativa de calcular la sCGF para las fluctuaciones de observables integrados en tiempo y espacio generales sin necesidad de resolver el complejo problema variacional derivado de la formulación en términos de integrales de camino. Este resultado revela un hecho de vital transcendencia: en estas situaciones, los límites de tiempos grandes y ruido débil conmutan.
Por último, en el Capítulo 8 resumiremos los diferentes resultados expuestos a lo largo de esta Tesis, señalando las principales implicaciones y novedades que tales aportaciones suponen para el campo de las fluctuaciones macroscópicas y, en general, para la Mecánica Estadística.
