Resumen de Study of homogeneous d'afri spaces, of the Jacobi operator on g. O. Spaces and the locally homogeneous convections on 2-dimensional manifolds with the help of mathematica
Hoy en día, el concepto de homogeneidad es una noción fundamental en geometría aunque su significado debe ser especificado para cada situación en concreto,A lo largo de esta memoria, se consideran dos tipos bien diferenciados de homogeneidad: la de las variedades riemannianas y la de las variedades afines. El primer tipo de homogeneidad se define como aquel que tiene la propiedad de que el grupo de isometrías actúa transitivamente sobre la variedad. La Parte I, recoge todos los resultados que hemos obtenido en esta dirección. Sin embargo, en la Parte II se presentan los resultados obtenidos sobre conexiones afines homogéneas. Una conexión afín se dice homogénea si para cada par de puntos de la variedad existe un difeomorfismo afín que envía un punto en otro. En este caso, también se considera una versión local de homogeneidad. Así, se admite que los difeomorfismos afines sean definidos sólo localmente, es decir; de un entorno en otro.nMás específicamente, la Parte I de esta tesis está dedicada a resolver el problema de comprobar si las familias de dimensión seis y doce de las variedades bandera 3-paramétricas,(M6 = SU(3)/SU(1) xSU(1) x SU(1),g(Cl,c2,c3)),(M12 = Sp(3)/SU(2)xSU(2)xSU(2), g(c1,c2,c3)), construidas por N. R. Wallach en " Compact homogeneous Riemannian manifols with strictly positive curvature, Ann. of Math. 96 (1972), p. 276-293" son espacios de D'Atrl. Por tanto, se mejoran los resultados presentados en "T. Arias-Marco, A. M. Naveira, A note on a family of reductive Riemannian homogeneous spaces whose geodèsic symmetrles fail to be divergence-preserving, Proceedings of the XI Fall Workshop on Geometry and Physics. Publicaciones de la RSME, 6 (2004), p. 35-45." Más aún, en el segundo Capítulo, se obtiene la clasificación completa de los espacios homogéneos de tipo A cuatro dimensionales que permite probar correctamente que todo espacio de D'Atri homogéneo de dimensión cuatro es naturalmente reductivo.
Finalmente, en el tercer Capítulo se prueba que en cualquier g.o. espacio el operador curvatura tiene rango osculador constante y, como consecuencia, se presenta un método para resolver la ecuación de Jacobi sobre cualquier g.o. espacio. Este método extiende de una manera natural el método propuesto, solamente para espacios naturalmente reductivos, por A. M. Naveira y A. Tarrío en "A method for the resolution of the Jacobi equation Y " + RY' = 0 on the manifold Sp(2)/SU(2), preprint." La Parte II se destina a clasificar (localmente) todas las conexiones afines localmente homogéneas con torsión arbitraria sobre variedades 2-dlmenslonales. Por tanto, se generaliza el resultado dado por B. Opozda para el caso sin torsión en "Classification of locally homogeneous connections on 2-dimensional manifolds, Dlff. Geom. Appl., 21 (2) (2004) p. 173-198." Para finalizar el cuarto Capítulo, se prueban algunos resultados Interesantes sobre conexiones llanas con torsión.
En general, el estudio de estos problemas requiere a veces, un gran número de cálculos simbólicos aunque sencillos. En dichas ocasiones, realizarlos correctamente a mano es una tarea ardua que requiere mucho tiempo. Por ello, se intenta organizar todos estos cálculos de la manera más sistemática posible de forma que el procedimiento no resulte excesivamente largo. Este tipo de investigación es ideal para utilizar la ayuda del ordenador; así, cuando resulte conveniente, utilizaremos la ayuda del software Mathematica para desarrollar con total transparencia el método de resolución que más se adecúa a cada uno de los problemas a resolver.
Más concretamente, dedicamos el Capítulo 1 a realizar un breve resumen de algunos tipos especiales de variedades riemannianas homogéneas que son de una especial relevancia en la Parte I de esta tesis. La intención de la última sección de este primer capítulo es mostrar como el software MATHEMATICA puede resultar útil. Para ello, terminamos el estudio realizado por J. E. D'Atri, H. K. Nickerson, "Geodèsic symmetrles in spaces with special curvature tensors, J. Diff. Geom. 9 (1974), p. 251-262" y probamos que "las familias 3-paramétricas de variedades bandera (M6,g(c1 ,c2,c3)) y (M12, g(c1,c2,c3)) son espacios de D'Atri si y sólo si son espacios naturalmente reductivos". Este resultado aparecerá en "T. Arlas-Marco, A property of Wallach's flag manifolds, aceptado para su publicación en Rend. Circ. Mat. Palermo (2) Suppl." El primer Intento de clasificar los espacios homogéneos de D'Atri 4-dimensionales fue realizado en "F. Podestá, A. Spiro, Four-dlmenslonal Einstein-like manifolds and curvature homogenelty, Geom. Dedicata 54 (1995), p. 225-243" and "P. Bueken, L. Vanhecke, Three- and Four-dimensional Elnstein-like manifolds and homogeneity, Geom. Dedicata 75 (1999), p. 123-136" (los cuales son mutuamente complementarios). Estos autores comenzaron con la clasificación de los espacios de tipo A, pero la clasificación presentada por F. Podestá y A. Spiro era Incompleta como hemos probado en " T. Arias-Marco, The classification of 4-dlmensional homogeneous D'Atri spaces revisited, Dlfferentiai Geometry and its Applications 25 (2007), p. 29-34". Ahora en el Capítulo 2 de esta tesis presentamos la clasificación completa de los espacios homogéneos 4-dlmenslonales de tipo A de una forma sencilla y explícita. Además, como consecuencia probamos correctamente que "todo espacio de D'Atri homogéneo 4-dimenslonal es localmente un espacio naturalmente reductivo". Más aún, en la última sección de este capítulo se corrige el teorema de clasificación presentado por F. Podestá y A. Spiro. Estos resultados, aparecerán en "T. Arlas-Marco, O. Kowalski, The classification of 4-dimenslonal homogeneous D'Atri spaces, aceptado para su publicación en Czechoslovak Mathematical Journal." Una g.o. variedad riemanniana es una variedad riemanniana homogénea en la cual cada geodésica es una órbita de un grupo uno-paramétrico de isometrías. Es conocido que toda g.o. variedad riemanniana simplemente conexa de dimensión menor o igual que 5 es naturalmente reductiva. Además, el primer ejemplo de g.o. variedad que no es naturalmente reductiva es un ejemplo 6-dimensional dado por Kaplan. Por otro lado, A. M. Naveira y A. Tarrío han desarrollado un método para resolver la ecuación de Jacobi en la variedad Sp(2)/SU(2). Este método está basado en el hecho de que el operador de Jacobi tiene rango osculador constante en los espacios naturalmente reductivos. En el Capítulo 3, hemos probado que "el operador de Jacobi tiene rango osculador constante en los g.o. espacios" y como consecuencia resolvemos la ecuación de Jacobi en el ejemplo de Kaplan. Para ello hemos calculado que el rango osculador constante del operador de Jacobi es 4 en el ejemplo de Kaplan. Para terminar, presentamos las principales similitudes y diferencias entre este nuevo método de resolución y el método estándar utilizado hasta el momento en la resolución de la ecuación de Jacobi.
Finalmente, hemos dedicado la segunda Parte de esta tesis al área de la geometría diferencial afín. Recientemente, fue resuelto el problema de clasificar todas las conexiones localmente homogéneas sin torsión en variedades dos-dimensionales en "B. Opozda: Classification of locally homogeneous connections on 2-dimensíonal manifolds, Diff. Geom. Appl., 21 (2) (2004) p. 173-198 " (utilizando un método directo) y en " O. Kowalski, B. Opozda, Z. Vlásek: A classification of locally homogeneous connections on 2-dimensional manifolds via group-theoretical approach, Central European Journal of Mathematics, 2 (1) (2004) p. 87-102 " (utilizando un método basado en la teoría de grupos). Sin embargo, no se encontró ninguna relación entre ambas clasificaciones y no se conocía ningún resultado para el caso de torsión arbitraria.
En el Capítulo 4, clasificamos las conexiones locamente homogéneas con torsión arbitrarla sobre variedades 2-dimensionales utilizando el método basado en la teoría de grupos y además obtenemos interesantes consecuencias sobre conexiones llanas con torsión. Además, basados en nuestros cálculos, ilustramos la relación esencial existente entre las clasificaciones presentadas en el caso sin torsión. Estos resultados, aparecerán en "T. Arias-Malco, O. Kowalski, Classification of locally homogeneous affine connections with arbitrary torsión on 2-dimensional manifolds, aceptado para su publicación en Monatshefte für Mathematik".
