El anillo mínimo de un cuerpo convexo. Algunos problemas de optimización

• Autores: Pedro José Herrero Piñeyro
• Directores de la Tesis: María Ángeles Hernández Cifre (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Murcia ( España ) en 2007
• Idioma: español
• Tribunal Calificador de la Tesis: Antonio Martínez Naveira (presid.), José Joaquín Gual Arnau (secret.), Pascual Lucas Saorín (voc.), Salvador Segura Gomis (voc.), Ángel Ferrández Izquierdo (voc.)
• Materias:
  • Matemáticas
    • Análisis y análisis funcional
      • Convexidad, desigualdades
    • Geometría
      • Dominios convexos
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: TDX
• Resumen

  • El objetivo de este trabajo ha sido el estudio del anillo mínimo de un conjunto convexo plano, así como su relación con otras magnitudes geométricas, esto da lugar a la obtención de las mejores desigualdades posibles entre las medidas consideradas, Dado un cuerpo convexo K (conjunto convexo y compacto), se define un anillo con centro c y radios r menor R como el conjunto cerrado formado por los puntos comprendidos entre las esferas (concéntricas) de centro c y radios r y R. La convexidad implica además la existencia de un único anillo con diferencia de radio R-r mínima; éste se denomina el anillo mínimo del conjunto.

    Siguiendo el trabajo iniciado por Bonnesen, Favard y otros, hemos estudiado, en primer lugar, las relaciones existentes entre el anillo mínimo de un cuerpo convexo plano con cada una de las seis magnitudes geométricas clásicas: el área, el perímetro, el diámetro, la anchura mínima, el circunradio y el inradio. De forma más precisa, determinamos todas las cotas posibles (superiores e inferiores) para dichas medidas cuando suponemos que el anillo mínimo está fijo.

    Obsérvese que si el circuncírculo y el incírculo de un cuerpo convexo K son concéntricos, desde luego éstos determinan el anillo mínimo del conjunto (como por ejemplo, en el cuadrado). Pero no siempre tiene por qué ocurrir tal cosa: de hecho, puede darse cualquiera de las otras posibilidades.

    Esto ha motivado nuestro interés pro estudiar la relación entre el anillo mínimo de un conjunto, su circuncírculo y su incírculo. Así, y tras demostrar diversas propiedades que relacionan estos objetos geométricos, determinamos todas las desigualdades óptimas que establecen cuáles son las figuras que maximizan o minimizan cada una de las medidas anteriores cuando su anillo mínimo y, o bien su circunradio, o bien su inradio, están fijos. Se resuelven todos los casos posibles, lo que cierra el problema totalmente.