Resumen de The multivariate directional approach: high level quantile estimation and applications to finance and environmental phenomena
El objetivo de esta tesis es el de introducir aspectos direccionales a las metodologías multivariantes utilizadas para el análisis de extremos y problemas derivados. Se explica en el documento que la utilización de direcciones en determinadas situaciones posibilitan considerar información externa o preferencias particulares del analista. El elemento matemático clave en este proyecto es la definición de cuantil direccional multivariante. Las propiedades que satisface y otras nociones relacionadas con esta definición son las bases que fundamentan los desarrollos teóricos y sus aplicaciones al análisis de riesgo, las cuales constituyen las contribuciones de esta tesis. Después de una introducción de conceptos preliminares y motivaciones dadas en el Capítulo 1, los Capítulos 2 a 4 recogen las siguientes aportaciones:
En el Capítulo 2, se introduce una extensión direccional multivariante del Value at Risk, el cual en dimensión uno es un referente en campos como economía, seguros y finanzas, y se define como un cuantil a nivel alpha en (0,1) para la distribución de la variable de pérdidas. Nuestra propuesta describe una medida de riesgo de resultado vectorial basada en los cuantiles direccionales multivariantes. Se estudian sus propiedades como una extensión de la axiomática definida para medidas de riesgo univariantes y también se presentan relaciones entre el valor de la medida de riesgo univariante VaR, aplicada sobre las marginales del vector de pérdidas, y los valores de las correspondientes componentes de la medida de riesgo propuesta. En este Capítulo se fundamenta la importancia de las direcciones, gracias a la cota conservadora (cota superior) de pérdida total que permite establecer nuestra propuesta a través del análisis en la dirección del vector de pesos de la inversión.
Se analizan expresiones cerradas de solución para la medida de riesgo direccional multivariante en modelos de copula de alta aplicación en la teoría financiera y se presenta un método de estimación no-paramétrico para el resultado de dicha medida en ámbitos generales. Finalmente, se presenta un análisis de robustez sobre los resultados obtenidos para la medida propuesta ante presencia de atípicos en la muestra, obteniendo buen comportamiento especialmente en casos de alta presencia de atípicos, en comparación con la única medida de valor vectorial encontrada en la literatura a la fecha.
El Capítulo 3 se ha centrado en la definición de extremos direccionales y en la descripción de una metodología de detección no-paramétrica de los mismos. Se presentan casos de estudio reales en el ámbito de la ingeniería ambiental, dado que en los fenómenos ambientales se requiere del análisis conjunto de variables cuya dependencia conlleva a resultados catastróficos en muchas situaciones. Debido a la necesidad de modelar estas dependencias, una de las herramientas más utilizadas en la literatura son las cópulas. Por tanto, en este Capítulo se presentan las ventajas y desventajas de los métodos de copula y direccional no-paramétrico, y se plantea la inclusión del enfoque direccional para las metodologías basadas en cópulas. Se presenta una interesante alternativa de dirección a través de la dirección de máxima variabilidad en los datos, lo cuál genera la inclusión de análisis de componentes principales a la metodología propuesta. Finalmente se analizan los casos reales de riesgo de inundación en una presa (en 3 dimensiones) y de tormentas costeras extremas (en 5 dimensiones), así como casos simulados que complementan la importancia del análisis direccional.
Por otra parte, es bien conocido que las metodologías clásicas de estimación no paramétrica fallan cuando se desea realizar análisis para niveles altos del cuantil incluso en el caso univariante, es decir, para alpha muy cercano a 0 o 1, lo cual se conoce en la literatura como estimación out-sample y para abordarlo es necesario recurrir a resultados asintóticos de la teoría de valores extremos. Nuestra propuesta no se encuentra exenta de esta necesidad y en el Capítulo 4 se describen las hipótesis necesarias para introducir una metodología de estimación out-sample para los cuantiles multivariantes direccionales. Adicionalmente, se prueban resultados que incluyen el enfoque direccional en el marco de la teoría de valores extremos multivariante y se demuestra también la propiedad de normalidad asintótica para el estimador propuesto. Finalmente, se presenta el comportamiento del estimador a través de un ejemplo basado en la distribución t multivariante, para la cual los resultados teóricos de los cuantiles direccionales son conocidos, así como los valores teóricos de los elementos necesarios para el proceso de estimación.
Finalmente, en el Capítulo 5 se presentan las conclusiones de la tesis y problemas abiertos para futuros trabajos de investigación.
