Inference on linear processes in Hilbert and Banach spaces. Statistical analysis of high-dimensional data
- Autores: Javier Álvarez Liébana
- Directores de la Tesis: María Dolores Ruiz Medina (dir. tes.)
- Lectura: En la Universidad de Granada ( España ) en 2018
- Idioma: inglés
- ISBN: 9788491639527
- Número de páginas: 470
- Tribunal Calificador de la Tesis: José Miguel Angulo Ibáñez (presid.), Ana María Aguilera del Pino (secret.), María Dolores Ugarte Martínez (voc.), Wenceslao González Manteiga (voc.), Florence Merlevède (voc.)
- Programa de doctorado: Programa de Doctorado en Estadística Matemática y Aplicada por la Universidad de Granada
- Materias:
- Enlaces
- Tesis en acceso abierto en: DIGIBUG
- Resumen
- español
Esta tesis proporciona nuevos resultados en el contexto de la estimación y predicción funcional, a partir de modelos autorregresivos Hilbertianos, o bien, con valores en espacios de Banach separables. El objetivo fundamental es proporcionar herramientas adecuadas para modelizar relaciones lineales entre variables aleatorias funcionales, que dependen de un índice temporal. Se ha adoptado un enfoque paramétrico, en la estimación funcional, basado en proyectar sobre bases ortonormales adecuadas. Los resultados derivados, sobre propiedades asintóticas de los estimadores considerados, se aplican al contexto de la regresión lineal funcional, con errores correlados en el tiempo, y con valores funcionales en espacios de Hilbert separables. En particular, se considera un análisis funcional de la varianza, para dichos modelos. Se introduce asimismo un enfoque Bayesiano en la derivación de la aproximación considerada, componente a componente, para el operador de autocorrelación, bajo condiciones menos restrictivas. Adicionalmente, se contempla un enfoque no paramétrico en la clasificación de datos funcionales con soporte espacial. Las contribuciones de esta tesis se pueden resumir, fundamentalmente, en los siguientes puntos:
• La derivación de nuevos resultados sobre consistencia débil y fuerte de estimadores de proyección del operador de autocorrelación, en modelos autorregresivos Hilbertianos de orden 1 (modelos ARH(1)), respecto a diferentes normas, tales como la norma definida sobre el espacio de operadores lineales y acotados, la norma en el espacio de operadores de Hilbert-Schmidt y la norma para operadores traza. Bajo el mismo escenario, se obtiene la consistencia del correspondiente predictor funcional plug-in. Se considera, en esta derivación, el caso de autovectores conocidos y desconocidos. Como caso especial, se aborda el problema de predicción funcional del proceso conocido como Ornstein-Uhlenbeck, con valores en espacios de Hilbert y Banach separables. Este aspecto motiva el siguiente bloque de contribuciones.
• La extensión de los resultados derivados previamente en el contexto ARH(1) al contexto ARB(1), siendo B un espacio de Banach abstracto y separable. Esta extensión también proporciona una metodología más flexible en el contexto de los procesos autorregresivos funcionales, dado que, hasta el momento, los espacios considerados por excelencia, en este ámbito, han sido los espacios de funciones continuas sobre un intervalo acotado, dotados con la norma del supremo, y el espacio de funciones continuas a la derecha, con límite por la izquierda, dotado con la geometría de Skorokhod. La metodología desarrollada se basa en la construcción del Lema 2.1 en Kuelbs (1970), donde se establece que, para cualquier espacio de Banach separable, se puede definir un espacio de Hilbert con topología más débil, bajo condiciones apropiadas. En este contexto, se genera una nueva sucesión de espacios de Hilbert y Banach encajados de forma continua, que permite extender los resultados existentes, sobre consistencia, a un contexto más general.
• La introducción de un enfoque Bayesiano en la estimación componente a componente de los autovalores del operador de autocorrelación, estableciendo la eficiencia asintótica y la equivalencia entre el estimador clásico y Bayesiano. Asimismo, se establece la equivalencia asintótica de los predictores asociados.
• La aplicación de los resultados derivados al contexto de modelos FANOVA, con término de error ARH(1), es también considerada. En particular, se introducen nuevos modelos de operadores de covarianza matricial, cuyas entradas funcionales, fuera de la diagonal, poseen un espectro puntual no separable.
• Se consideran, en todos los casos, amplios estudios de simulación, con el objeto de comparar con otros enfoques las propiedades asintóticas de los estimadores analizados, así como derivar numéricamente nuevas razones de convergencia en relación con la eficiencia asintótica y la consistencia.
• Se ilustra, en particular, la implementación práctica para el análisis de datos de elevada dimensión, de las metodologías de estimación y predicción funcional adoptadas, en todos los ámbitos estudiados, mediante aplicaciones en términos de datos reales.
- English
This PhD thesis focuses on statistical estimation and prediction from temporal correlated functional data. We adopt the functional time series framework, considering, in particular, autoregressive processes in Hilbert and Banach spaces (ARH(1) and ARB(1) processes). Our primary objective is the statistical estimation of the conditional mean, from temporal correlated data, considering linear models in a parametric framework. That is the case, for example, of the estimation of the functional response in linear regression, with functional regressors and correlated errors, lying in Hilbert or Banach spaces. Some extensions to the Bayesian framework are derived as well. Nonparametric classification is also considered, in the special case of spatially supported uncorrelated functional data. Specifically, the main contributions of this PhD thesis can be summarized as follows:
• The derivation of new weak- and strong- consistency results, for componentwise estimators of the autocorrelation operator of an ARH(1) process, in the norms of bounded linear, Hilbert-Schmidt and trace operators. Under the same setting of conditions, consistency of the corresponding plug-in predictors is derived as well. The cases of known and unknown eigenvectors are studied. Some particular examples are also analysed, such as the Ornstein-Uhlenbeck process in Hilbert and Banach spaces, as motivation of the subject summarized in the next paragraph.
• The extension of the results previously derived on functional prediction, based on ARC(1) and \linebreak ARD(1) processes, with respective values in the space of continuous functions and in the Skorokhod space, to the case of an abstract separable Banach space. Specifically, sufficient conditions are obtained for the strong-consistency of the componentwise estimator of the autocorrelation operator, and the associated plug-in predictor. The methodological approach proposed, in the derivation of these results, is based on the construction appearing in Lemma 2.1 in Kuelbs (1970), and the definition of continuous embeddings between suitable Banach and Hilbert spaces.
• The introduction of the Bayesian statistical perspective, in the componentwise estimation of the autocorrelation operator of an ARH(1) process, with the consideration of the corresponding ARH(1) plug-in predictor, under weaker setting of conditions than before for its asymptotic efficiency. The asymptotic equivalence of both, the classical and Bayesian estimators and plug-in predictors, is studied as well.
• The FANOVA analysis of functional fixed effect models in Hilbert spaces, under correlated errors, having values in a separable Hilbert space. In this context, non-separable point spectrum matrix covariance operator models are analysed.
• A wide range of simulation studies have been undertaken, for comparative purposes, in relation to the existing functional prediction methodologies in the ARH(1), ARB(1) and nonparametric frameworks.
• Some real-data applications are considered to illustrate the implementation of the proposed functional estimation and prediction methodologies in practice.
- español
