Resumen de Intersection cohomology with torus actions of complexity one and intersection space complexes
En esta tesis se estudian dos teorías homológicas que producen dualidad de Poincaré en espacios singulares: (co)homología de intersección y espacios de intersección. En primer lugar, calculamos los números Betti de la cohomología de intersección de T-variedades proyectivas libres de contracción y de complejidad uno. Como paso intermedio, calculamos los números clásicos de Betti para toda T-variedad proyectiva lisa de complejidad uno. Nuestra principal herramienta para finalizar el cálculo desde este punto es una descripción del teorema de descomposición en este contexto. En segundo lugar, presentamos una construcción inductiva de pares de espacios de intersección que sigue el esquema de la teoría de obstrucción y que generaliza la construcción de los espacios de intersección de Banagl para estratificaciones de cualquier profundidad. Esta construcción puede finalizarse en el caso de pseudovariedades con fibraciones de links triviales que cumplen ciertas condiciones de compatibilidad; esto incluye el caso de variedades tóricas. Por último, estudiamos los espacios de intersección desde el punto de vista de teoría de haces. Definimos los complejos del espacio de intersección de una manera axiomática, similar a la axiomática de Goresky-McPherson para el complejo de la cohomología de intersección. Probamos que si el espacio de intersección existe, entonces la pseudovariedad tiene un complejo del espacio de intersección cuya hipercohomología recupera la cohomología del par de espacios de intersección.
Caracterizamos la existencia y la unicidad de los complejos del espacio de intersección en términos de la categoría derivada de complejos constructibles. Encontramos clases de ejemplos que admiten un complejo del espacio de intersección y contraejemplos que no los admiten; son en particular los primeros ejemplos conocidos que no admiten espacios de intersección de Banagl. Probamos que el dual de Verdier (desplazado) de un complejo del espacio de intersección es un complejo del espacio de intersección. Probamos un teorema genérico de dualidad de Poincaré para complejos del espacio de intersección en el caso en que la pseudovariedad tiene profundidad uno.
