Resumen de Punts singulars i orbites periodiques per a camps vectorials
En la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales en el plano, conocer el número de ciclos límite que puede presentar una familia concreta, es desde los tiempos de H, Poincaré un problema abierto. En esta memoria se estudian, principalmente, las posibles respuestas para las dos preguntas siguientes: Cuantos ciclos límite se pueden generar del origen en el caso de una bifurcación degenerada de Hopf, en el caso de que el origen sea de tipo monodrómico? Cuantos ciclos límite se obtienen al perturbar el Hamiltoniano H=1/2 (x2+y2)? El primer capítulo está dedicado al estudio de las condiciones necesarias para que un sistema tenga un centro en el origen, desarrollando un nuevo método para este efecto.
En el Capítulo 2, se dan respuestas a las preguntas mencionadas para algunas familias de ecuaciones diferenciales, por ejemplo las ecuaciones de Liénard, y las familias homogéneas. Los métodos introducidos en los capítulos anteriores permiten, en el Capítulo 3, dar la forma de las órbitas periódicas en función del parámetro de perturbación, y se usan para estudiar el problema del centro para el caso de sistemas analíticos a trozos. Los Capítulos 4 y 5 se dedican al estudio de la ecuación de Liénard. En estos se consigue generalizar un criterio para la caracterización de centros para el caso degenerado. Además, se estudia el máximo orden de degeneración que puede presentar el origen, a partir de calcular la multiplicidad en el origen de una aplicación, y con este, mejorar las cotas conocidas para este número.
En el último capítulo, se estudia la relación que existe entre la multiplicidad y el índice de una aplicación en un cero de esta.
