Resumen de Contribución al estudio de una clase de ecuaciones en derivadas parciales estocásticas con retardo
Se estudia en este trabajo el problema de la introducción de retardos en una ecuación de tipo estocástico que aparece en el estudio de ciertos problemas de filtraje no lineal. Tras elaborar una teoría de integración estocástica adaptada a nuestra situación ... resolvemos una ecuación auxiliar que nos permite tratar en dos etapas diferenciadas por Galerkin y Picard nuestra ecuación demostrando la existencia y unicidad de solución a la misma así como una igualdad de tipo energía satisfecha por dicha solución. El trabajo lo hemos dividido en tres capítulos: En el Primer Capítulo se encuentran reunidos aquellos elementos de integración estocástica que nos serán de utilidad para el desarrollo ulterior del trabajo. El punto de vista adoptado es el de Meyer y hemos efectuado un esfuerzo considerable al ordenar los conceptos realizando una exposición tan clara como nos ha sido posible. De este capítulo destacaríamos la desigualdad de Burkholder-Gundy y sus consecuencias así como la extensión de la integración real al caso hilbertiano simple que nos ocupa, extensión que constituye en la forma aquí presentada una elaboración personal adecuada a las necesidades del trabajo.En el Capítulo Segundo estudiamos la ecuación auxiliar antes citada. Tras unas consideraciones introductorias, en el párrafo segundo, y por aplicación inmediata de los resultados deterministas, demostramos la unicidad de solución y un lema auxiliar que nos permite probar en el parágrafo tercero la existencia de solución y la igualdad de la energía para la misma, distinguiendo dos etapas, según ? (t) tome sus valores en V ó en H.Finalmente, en el Capítulo Tercero, que constituye la parte fundamental y propiamente original de nuestro trabajo tras dar respuesta en el parágrafo 1 a la cuestión i) anteriormente expuesta, introducimos la hipótesis de coercividad adecuada a nuestro problema y probamos la unicidad de soluciones (parágrafo 2). En los parágrafos 3 y 4 demostramos la existencia de solución siguiendo el esquema esbozado con anterioridad, y finalizamos dando un ejemplo de ecuación a la que puede aplicarse nuestro Teorema.
