Resumen de Aplications of the dirac operator in the adjoint representation to yang-mills theories
A lo largo del siglo XX se ha producido un gran avance en el entendimiento de la estructura interna de la materia. Actualmente toda la materia visible puede explicarse en terminos de unas pocas partIculas: quarks y leptones. La interaccion de estas partIculas puede ser explicada mediante solo cuatro fuerzas: la interaccion gravitatoria, la interaccion electromagnetica, la interaccion fuerte y la interaccion debil. De modo que podemos explicar casi todos los fenomenos que observamos con solo unos pocos ingredientes.
Las interacciones electromagnetica, debil y fuerte, actualmente se enmarcan en el denominado Modelo Estandar. El Modelo Estandar es una Teoria Cuantica de Campos, basada en la Simetria Gauge SU(3) X SU(2) X U(1). Este modelo permite explicar la dinamica de las partIculas fundamentales a escalas inferiores al nucleo atomico. A altas energias el uso de la Teoria de Perturbaciones ha permitido verificar con gran precision muchas de las predicciones de la teoria. Sin embargo, existen problemas como el Confi- namiento o la Ruptura Espontanea de la Simetria Quiral que no pueden ser tratados con estas tecnicas, debido a su caracter no perturbativo. Una de las corrientes mas extendidas, defiende que estos problemas estan dominados por la dinamica generada por ciertas pseudo-particulas presentes en el vacio de la teoria. La naturaleza de estos objetos esta determinada por las propiedades topologicas de la teoria.
Aunque las propiedades de muchas de estas pseudo-particulas son conocidas, es necesario calcular cual es su contribucion a la Integral de Camino. Para estudiar estos problemas, se han desarrollado nuevos metodos de calculo que incluyen estos efectos no perturbativos.
El mas extendido, se basa en definir la Teoria Cuantica de Campos en un espacio-tiempo discreto, denominado Reticulo. La Teorias en el Reticulo, permiten dar una definicion rigurosa de la Integral de Camino. Aunque el numero de grados de libertad permanece finito en estas teorias, su elevado numero requiere de un tratamiento estadistico.
En la mayor parte de los calculos realizados en Teorias en el Reticulo, se generan configuraciones mediante metodos Monte Carlo. Estas configuraciones estan dominadas por momentos de Fourier altos, los cuales enmascaran las estructuras extendidas que definen las propiedades topologicas de la configuracion. Conocer la distribucion en que estas estructuras aparecen, nos permitira conectar los resultados obtenidos en el Reticulo con modelos basados en la aproximacion semi-clasica.
A lo largo de los ultimos 30 años, se han desarrollado muchas tecnicas para extraer informacion acerca de estas estructuras. Algunas de ellas se basan en modficar las configuraciones con algoritmos que reduzcan los modos de Fourier mas altos. El problemas de estas tecnicas es que modifican tambien los modos mas bajos y por tanto las estructuras topologicas iniciales. En los ultimos años, se ha usado el operador de Dirac, como metodo para filtrar las configuraciones sin modificarlas. Este es posible por dos razones: * El operador de Dirac es menos sensible a los modos altos de Fourier.
* El Teorema de Indice relaciona la carga topologica de las configuraciones gauge con los modos cero del operador de Dirac.
Generalmente se ha empleado la representacion fundamental para este proposito. En esta tesis se estudia el uso de estas tecnicas con fermiones en la representacion adjunta.
La razon princpal, es que esta representacion presenta una propiedad adicional: para soluciones clasicas de las ecuaciones gauge, se puede construir una solucion de la ecuacion de Dirac, cuya densidad corresponde con la densidad de accion gauge. Para encontrar esta solucion, hemos definido un operador a partir de una determinada proyeccion del operador de Dirac. Hemos conseguido obtener una implementacion de este operador en el Reticulo basado en el operador de Neuberger. En orden de testar cuales son las limitaciones numericas del metodo se han analizado un amplio rango de situaciones. Estos test incluyen problemas relacionados con: *Efectos de la discretizacion.
* Efectos de volumen finito.
* Violaciones de la condicion de solucion clsica.
* Inclusion de ruido de alta frecuencia.
En todos estos casos hemos sido capaces de reproducir la densidad de accon gauge esperada.
Como paso previo al estudio en el Reticulo, estudiamos de forma analitica algunas de las soluciones clasicas de la ecuacion de Dirac en la adjunta. Esto nos permite conocer cuales son las estructuras que aparecen en este tipo de soluciones. A lo largo de este proceso, hemos obtenido las soluciones analiticas del operador de Dirac en la representacion adjunta asociadas a unas pseudo-particulas denominadas Calorones. Estas soluciones son relevantes en el estudio de sistemas a temperatura finita y tambien en construcciones supersimetricas de las teorias gauge.
Las soluciones que hemos encontrado, pueden ser uutiles en el estudio de teorias que incluyan fermiones en la representacion adjunta. Este tipo de teoroas son habituales en extensiones al Modelo Estandar. Dos claros ejemplos son la Supersimetria y los modelos de Tecnicolor. En los ultimos años, se ha comenzado a usar esta representacion para el estudio de la expansion a gran N.
La tesis esta estructurada de la siguiente forma: el formalismo necesario para el desarrollo de la tesis es introducido en los capitulos del 1 al 3. En el capitulo 1, se introducen las nociones basicas de la Teoria Cuantica, centrandonos en su formulacion Euclidea y en la definicion de la aproximacon semi-clasica. El capitulo 2 esta dedicado a introducir el concepto de Teoria Gauge y su formulacion matematica. Se desarrollan algunas de las soluciones clasicas conocidas para estas teorias. Estas soluciones son necesarias en el uso de la aproximacion semi-clasica. A continuacion se introduce la formulacion de la TCC en el Reticulo en el capitulo 3. Finalmente en el capitulo 4 se resumen las propiedades generales del espectro del operador Dirac en la representacion adjunta. Los resultados obtenidos en la tesis se desarrollan en los capitulos 5 y 7. El capitulo 5 esta dedicado al estudio de soluciones de la ecuacion de Dirac en la representacion adjunta en presencia de un Caloron. Hemos deducido las soluciones a esta ecuacion para el grupo gauge SU(N), para varias condiciones de contorno en la direccion temporal. En el capitulo 6, se define una solucion de operador de Dirac en la representacion adjunta que reproduce la densidad del campo gauge presente. Se propone usar esta solucion como metodo para obtener una imagen filtrada de las configuraciones gauge generadas por metodos Monte Carlo. La solucion es obtenida minimizando un operador definido a partir del operador de Dirac. El metodo es testado para comprobar su eficiencia y limitaciones. En el capitulo 7 se resumen los resultados obtenidos. Los aspectos mas tecnicos son desarrollados en los apendices.
