Problemas de valor inicial en la construcción de sucesiones mayorizantes para el método de Newton en espacios de Banach

• Autores: Daniel González Sánchez
• Directores de la Tesis: José Antonio Ezquerro Fernández (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de La Rioja ( España ) en 2012
• Idioma: español
• Número de páginas: 174
• Tribunal Calificador de la Tesis: Juan Ramón Torregrosa Sánchez (presid.), María Jesús Rubio (secret.), Rosa María Peris Sancho (voc.), Blanca Bujanda Cirauqui (voc.), Sonia Busquier Sáez (voc.)
• Materias:
  • Matemáticas
    • Análisis numérico
      • Ecuaciones funcionales
      • Ecuaciones integrales
      • Métodos iterativos
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: Dialnet
• Resumen
  • español

    Es bien conocido que la resolución de ecuaciones no lineales de la forma F(x) = 0, donde F es un operador no lineal definido entre espacios de Banach, es un problema habitual en las ciencias e ingenierías.

    Habitualmente se buscan aproximaciones numéricas de las raíces de la ecuación anterior, puesto que encontrar raíces exactas suele ser difícil. Para aproximar una raíz de la ecuación anterior se utilizan habitualmente métodos iterativos, de entre los que destaca el método de Newton por su sencillez, fácil aplicación y eficiencia.

    El primer resultado de convergencia semilocal para el método de Newton en espacios de Banach fue dado por Kantorovich. En esta memoria se analiza la convergencia semilocal del método de Newton en espacios de Banach y cuyo principal objetivo es darle una mayor generalidad al problema de aproximar las raíces de una ecuación no lineal mediante el método de Newton, de manera que se pueda extender la aplicabilidad de este método a situaciones en las que la teoría clásica de Kantorovich no la puede garantizar. Para ello, se utiliza el conocido principio de la mayorante, que se basa en la construcción de sucesiones reales mayorizantes, y que, bajo nuevas condiciones de convergencia semilocal de tipo Kantorovich, permite generalizar las condiciones clásicas de Kantorovich. Aquí juega un papel importante la construcción ad hoc de sucesiones mayorizantes a partir de la resolución de problemas de valor inicial.

    Se ilustra todo lo anterior con diferentes tipos de ecuaciones no lineales, destacando las ecuaciones integrales de tipo Hammerstein mixto y la ecuación de Bratu, que tienen su origen en diversos problemas del mundo real, tal y como se pone de manifiesto a largo de la Memoria.

  • English

    It is well known that solving nonlinear equations of the form F(x)=0, where F is a nonlinear operator defined between Banach spaces, is a common problem in science and engineering.

    Usually numerical approximations of the roots of the previous equation are looking for, since finding exact roots is often difficult. To approximate a root of the previous equation is commonly used iterative methods, among which Newton's method is important for its simplicity, easy implementation and efficiency.

    The first result of semilocal convergence for Newton's method in Banach spaces was given by Kantorovich. In this dissertation it is analyze the semilocal convergence of Newton's method in Banach spaces, whose principal aim is to give greater generality to the problem of approximating the roots of a nonlinear equation by Newton's method, so that it can extend the applicability of this method to situations where the classical theory of Kantorovich cannot. To do this, we use the majorant principle, based on the construction of majorizing sequences, and, under new semilocal convergence conditions of Kantorovich-type, that allows us to generalize the classical conditions of Kantorovich. This plays an important role in the ad hoc construction of majorizing sequences from solving initial value problems.

    We illustrate the above with different types of nonlinear equations, highlighting the Hammerstein integral equations of mixed type and Bratu's equation, which have their origin in various real-world problems, such as it is evidenced in this dissertation.