Complexity and random polynomials

• Autores: Diego Armentano
• Lectura: En la Universidad de la República (Uruguay) ( Uruguay ) en 2012
• Idioma: inglés
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: hdl.handle.net
• Resumen
  • español

    En esta disertacion analizamos dos enfoques diferentes para el problema de resolver sistemas de ecuaciones polinomiales.

    En la primer parte de esta memoria analizamos la complejidad de ciertos algoritmos para resolver sistemas de ecuaciones, a saber, metodos homotopicos o metodos de seguimiento de caminos. Ponemos especial atencion al problema de valores propios, introduciendo un marco proyectivo para analizar este problema. El resultado principal es acotar la complejidad de caminos de homotopa en terminos de la longitud del camino en la metrica de condicion. Tambien estudiaremos el problema de la complejidad del teorema de Bezout, reconsiderando el algoritmo de Smale en la luz del trabajo hecho en los ultimos a~nos. Al nal de esta primera parte de nimos un nuevo numero de condicion adaptado a perturbaciones con direcciones uniformes en un contexto general entre variedades Riemannianas, relacionandolo con los numeros de condicion clasicos en varios ejemplos interesantes.

    En la segunda parte de esta memoria nos concentramos en las soluciones de sistemas de ecuaciones cuando los coe cientes de estos son tomados al azar con cierta distribucion de probabilidad. Empezaremos dando una breve rese~na sobre la formula de Rice para campos aleatorios. Repasaremos algunos resultados recientes relacionados al numero esperado de races reales de un sistema de ecuaciones polinomiales.

    Tambien repasaremos, dando nuevas pruebas, algunos resultados conocidos relacionados al caso indeterminado, es decir, cuando el sistema de ecuaciones aleatorias tiene mas variables que ecuaciones.

    Tambien estudiaremos sistemas polinomiales aleatorios complejos. Introduciremos las tecnicas de Rice en la teora de campos aleatorios complejos. En particular, daremos un enfoque probabilsta al teorema de Bezout usando las formulas de Rice. En el nal de esta segunda parte consideramos el siguiente problema: >como estan distribuidas las races de polinomios complejos aleatorios? Probaremos que puntos en la esfera asociados a races de polinomios complejos aleatorios estan sorprendentemente bien distribudos con respecto al mnimo de la energa logartmica sobre la esfera. Esto es, races de polinomios aleatorios brindan una muy buena aproximacion de los puntos de Fekete elpticos.

  • English

    In this dissertation we analyze two di erent approaches to the problem of solving system of polynomial equations.

    In the rst part of this thesis we analyze the complexity of certain algorithms for solving system of equations, namely, homotopic methods or path-following methods. Special attention is given to the eigenvalue problem, introducing a projective framework to analyze this problem.

    The main result is to bound the complexity of path-following methods in terms of the length of the path in the condition metric, proving the existence of short paths in the condition metric. We also address the problem of the complexity of Bezout's theorem, reconsidering Smale's algorithm in the light of work done in the intervening years. At the end of this rst part we de ne a new condition number adapted to directionally uniform perturbations in a general framework of maps between Riemannian manifolds, relating it with the classical condition number in many interesting examples. In the second part of this dissertation we center our attention on the set of solutions of system of equations where the coecients are taken at random with some probability distribution. We start giving an outline on Rice formulas for random elds. We review some recent results concerning the expected number of real roots of random systems of polynomial equations. We also recall and give new proofs of some known results about the undetermined case, that is, when the random system of equations has less equations than unknowns. We also study complex random systems of polynomial equations. We introduce the technics of Rice formulas in the realm of complex random elds. In particular, we give a probabilistic approach of Bezout's theorem using Rice formulas. At the end of this second part we deal with the following question: How are the roots of complex random polynomials distributed?. We prove that points in the sphere associated with roots of random polynomials via the stereographic projection, are surprisingly well-suited with respect to the minimal logarithmic energy on the sphere. That is, roots of random polynomials provide a fairly good approximation to Elliptic Fekete points.