Existence of positive solutions for a nonlinear semipositone boundary value problems on a time scale

• Autores: Saroj Panigrahi, Sandip Rout
• Localización: Cubo: A Mathematical Journal, ISSN 0716-7776, ISSN-e 0719-0646, Vol. 24, Nº. 3, 2022, págs. 413-437
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    Resumen En este artículo estudiamos la existencia de soluciones positivas del siguiente problema de valor de frontera semipositón en escalas de tiempo: (ψ(t)y∆(t))∇+λ1g(t, y(t))+λ2h(t, y(t)) = 0, t ∈ [ρ(c), σ(d)]T, con condiciones de frontera mixtas αy(ρ(c)) − βψ(ρ(c))y∆(ρ(c)) = 0, γy(σ(d)) + δψ(d)y∆(d) = 0, donde ψ : C[ρ(c), σ(d)]T, ψ(t) > 0 para todo t ∈ [ρ(c), σ(d)]T; ambas g y h: [ρ(c), σ(d)]T × [0, ∞) → R son continuas y semipositón. Hemos establecido la existencia de al menos una solución positiva o múltiples soluciones positivas del problema de valor en la frontera anterior usando un teorema de punto fijo en un cono en un espacio de Banach, cuando g y h son ambas superlineales o sublineales o una es superlineal y la otra es sublineal para λi > 0; i = 1, 2 suficientemente pequeños.

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    Abstract In this paper, we are concerned with the existence of positive solution of the following semipositone boundary value problem on time scales: (ψ(t)y∆(t))∇+λ1g(t, y(t))+λ2h(t, y(t)) = 0, t ∈ [ρ(c), σ(d)]T, with mixed boundary conditions αy(ρ(c)) − βψ(ρ(c))y∆(ρ(c)) = 0, γy(σ(d)) + δψ(d)y∆(d) = 0, where ψ : C[ρ(c), σ(d)]T, ψ(t) > 0 for all t ∈ [ρ(c), σ(d)]T; both g and h: [ρ(c), σ(d)]T × [0, ∞) → R are continuous and semipositone. We have established the existence of at least one positive solution or multiple positive solutions of the above boundary value problem by using fixed point theorem on a cone in a Banach space, when g and h are both superlinear or sublinear or one is superlinear and the other is sublinear for λi > 0; i = 1, 2 are sufficiently small.